有关舒尔补的一些公式，主要是涉及 的分块矩阵的求逆和行列式。

舒尔补

对于一个非奇异的分块矩阵，其逆矩阵可以写为（假设 可逆）

其中矩阵 称为 的舒尔补 (Schur complement) 。

类似地，我们有

其中矩阵 称为矩阵 的舒尔补。

Marsaglia 和 Styan (1974a,b) 给出了两个重要公式，分别为（第二个式子可以理解为将 替换成了 ）。

证明就是用右手项乘以 ，证明过程略。

的行列式推导如下，首先根据行列式性质，我们有

因此我们有

类似的，我们有

因此，我们得到

参考文献

1. Searle S R, Casella G, McCulloch C E. Variance components[M]. John Wiley & Sons, 2009.
2. Matsaglia G, PH Styan G. Equalities and inequalities for ranks of matrices[J]. Linear and multilinear Algebra, 1974, 2(3): 269-292.
3. Marsaglia G, Styan G P H. Rank conditions for generalized inverses of partitioned matrices[J]. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A, 1974: 437-442.