AB的每一列均为A的列的线性组合

线性代数中,线性组合的概念时常见到,这里记录一下推导过程。

Ab 为A的列的线性组合。

假如 的矩阵, 的向量,易得

因此,得证 的列的线性组合。

AB 的每一列均为A的列的线性组合

假如 的矩阵, 的矩阵,我们推导出下式。这里第一个等号中,我们将 分别按行和列拆分开,第二个等号为分块矩阵的乘积。第三个等号我们继续将每个 拆分为元素,第四个等号为矩阵加法的结果。

因此,我们证明了 的每一列均为 的列的线性组合。

其实利用上面的” 的列的线性组合“这个性质,我们可以更简洁地证明这一点

这里,我们同样证明了的每一列均为的列的线性组合。

举个例子,假设

根据矩阵乘法,我们得到

根据我们上面的推导, 每一列可以拆分为:

AB 的每一行均为B的行的线性组合

类似上面,假设 是一个 的行向量, 是一个 的矩阵,那么

因此,我们证明 的行的线性组合。

假如 的矩阵, 的矩阵,那么

因此得证 的每一行均是 的行的线性组合。

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