线性代数中，线性组合的概念时常见到，这里记录一下推导过程。

Ab 为A的列的线性组合。

假如 \(\mathbf{A}\) 为 \(m \times n\) 的矩阵，\(\mathbf{b}\) 为 \(n \times 1\) 的向量，易得 \[ \mathbf{A}\mathbf{b} = \left(\begin{array}{r} \mathbf{a}_{1}, & \mathbf{a}_{2}, & \cdots, & \mathbf{a}_{n} \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array}\right) = \mathbf{a}_{1}b_{1} + \mathbf{a}_{2}b_{2} + \cdots + \mathbf{a}_{n}b_{n} \] 因此，得证\(\mathbf{A}\mathbf{b}\) 为 \(\mathbf{A}\) 的列的线性组合。

AB 的每一列均为A的列的线性组合

假如 \(\mathbf{A}\) 为 \(m \times n\) 的矩阵，\(\mathbf{B}\) 为 \(n \times q\) 的矩阵，我们推导出下式。这里第一个等号中，我们将 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) 分别按行和列拆分开，第二个等号为分块矩阵的乘积。第三个等号我们继续将每个 \(\mathbf{b}^{'}_{i}\) 拆分为元素，第四个等号为矩阵加法的结果。 \[ \begin{aligned} \mathbf{A} \mathbf{B}&=\left[\begin{array}{lll} \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \mathbf{b}^{'}_{1} \\ \mathbf{b}^{'}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{b}^{'}_{n} \end{array}\right]\\ &\\ &=\mathbf{a}_{1} \mathbf{b}^{'}_{1}+\mathbf{a}_{2} \mathbf{b}^{'}_{2}+\cdots+\mathbf{a}_{n} \mathbf{b}^{'}_{n} \\ &\\ &=\left[\mathbf{a}_{1} b'_{11}, \mathbf{a}_{1} b'_{12}, \cdots, \mathbf{a}_{1} b'_{1q}\right]+\\ & \quad \left[\mathbf{a}_{2} b'_{21}, \mathbf{a}_{2} b'_{22}, \cdots, \mathbf{a}_{2} b'_{2q}\right] +\\ & \quad \cdots \\ & \quad \left[\mathbf{a}_{n} b'_{n 1}, \mathbf{a}_{n} b'_{n2}, \cdots, \mathbf{a}_{n} b'_{nq}\right]\\ &\\ &=[\mathbf{a}_{1} b'_{11} + \mathbf{a}_{2} b'_{21}+\cdots+\mathbf{a}_{n} b'_{n 1}, \\ & \quad \mathbf{a}_{1} b'_{12} + \mathbf{a}_{2} b'_{22}+\cdots+\mathbf{a}_{n} b'_{n 2}, \\ & \quad \cdots, \\ & \quad \mathbf{a}_{1} b'_{1q} + \mathbf{a}_{2} b'_{2q}+\cdots+\mathbf{a}_{n} b'_{n q}] \\ \end{aligned} \] 因此，我们证明了 \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) 的每一列均为 \(\mathbf{A}\) 的列的线性组合。

其实利用上面的” \(\mathbf{A}\mathbf{b}\) 为 \(\mathbf{A}\) 的列的线性组合“这个性质，我们可以更简洁地证明这一点 $$ \[\begin{aligned} \mathbf{A} \mathbf{B}&=\mathbf{A} \left[\begin{array}{lll} \mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, \cdots, \mathbf{b}_{q} \end{array}\right] \\ &\\ &=\left[\begin{array}{lll} \mathbf{A}\mathbf{b}_{1}, \mathbf{A}\mathbf{b}_{2}, \cdots, \mathbf{A}\mathbf{b}_{q} \end{array}\right] \\ &\\ \end{aligned}\]

$$ 这里，我们同样证明了\(\mathbf{A}\mathbf{B}\)的每一列均为\(\mathbf{A}\)的列的线性组合。

举个例子，假设 \[ \mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{array}\right] \] 根据矩阵乘法，我们得到 \[ \mathbf{A}\mathbf{B} = \left[\begin{array}{ll} 15 & 11 \\ 4 & 3 \\ 9 & 14 \end{array}\right] \] 根据我们上面的推导，\(\mathbf{A}\mathbf{B}\) 每一列可以拆分为： \[ \begin{aligned} &{\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right] 1+\left[\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right] 2+\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right] 3=\left[\begin{array}{l} 15 \\ 4 \\ 19 \end{array}\right]} \\ &{\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1\\ 3 \end{array}\right] 0+\left[\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right] 1+\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right] 3=\left[\begin{array}{l} 11 \\ 3 \\ 14 \end{array}\right]} \end{aligned} \]

AB 的每一行均为B的行的线性组合

类似上面，假设 \(\mathbf{a}^{\prime}\) 是一个 \(1 \times n\) 的行向量，\(\mathbf{B}\) 是一个 \(n \times q\) 的矩阵，那么 \[ \mathbf{a}^{\prime}\mathbf{B} = \left(\begin{array}{r} a_{1}, & a_{2}, & \cdots, & a_{n} \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} \mathbf{b}^{\prime}_{1} \\ \mathbf{b}^{\prime}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{b}^{\prime}_{n} \end{array}\right) =a_{1}\mathbf{b}^{\prime}_{1}+ a_{2}\mathbf{b}^{\prime}_{2} + \cdots + a_{n} \mathbf{b}^{\prime}_{n} \]

因此，我们证明 \(\mathbf{a}^{\prime}\mathbf{B}\) 是 \(\mathbf{B}\)的行的线性组合。

假如 \(\mathbf{A}\) 为 \(m \times n\) 的矩阵，\(\mathbf{B}\) 为 \(n \times q\) 的矩阵，那么

$$ =

( \[\begin{array}{r} \mathbf{a}^{\prime}_{1} \\ \mathbf{a}^{\prime}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^{\prime}_{n} \end{array}\]

)

=

( \[\begin{array}{r} \mathbf{a}^{\prime}_{1} \mathbf{B} \\ \mathbf{a}^{\prime}_{2} \mathbf{B} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^{\prime}_{n} \mathbf{B} \end{array}\]

) $$

因此得证 \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) 的每一行均是 \(\mathbf{B}\) 的行的线性组合。