今天发现，我们一直在说的“线性”二字居然是一个有歧义的概念。

概述

我查了一些资料，目前感觉还是维基百科对这个问题讲得最清楚全面，因此本文主要内容来自于维基百科-线性关系。

在现代学术界中，线性关系一词存在2种不同的含义。其一，若某数学函数或数学关系的函数图形呈现为一条直线或线段，那么这种关系就是一种线性的关系。其二，在线性代数和数学分析中，如果一种运算同时满足可加性和齐次性，则称这种运算是线性的。

定义

如果称一个数学函数 \(L(x)\) 为线性的，可以是指：

• 定义1： \(L(x)\) 是一个只有一个变量的一阶多项式函数，即可以表示为 \(L(x)=k x+b\) 的形式（其中 k,b 为常数），此时的函数图形是一条直线。
• 定义2： \(L(x)\) 满足以下两个性质：
  • 可加性：\(L(x+t)=L(x)+L(t)\)
  • 齐次性：\(L(m x)=m L(x)\)

需要注意这两种定义分别描述的是2种不同的事物。在初等数学中（主要是与方程组与一次函数有关的理论），使用的是定义1。但在高等数学（尤其是纯数学）中所说的线性一般使用的是定义2。如对线性相关和线性变换的定义。但是初等数学中有关【线性】的一些习惯术语也仍然在高等数学中沿用，如线性回归。

定义1 的定义动机是把函数图像为直线的数量关系称作线性的关系。从这种几何意义出发，定义1本来不具有对多元函数进行推广的必要，因为形如 \(f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=k_{1} * x_{1}+k_{2} * x_{2}+\ldots+k_{n} * x_{n}+b\) 的函数的图形根本不是直线，而是平面或超平面，因此也就谈不上“线性”了。但是我们还是有这种做法出现。

例子

• 按照定义1，一次函数描述的都是不同变量间的线性的数量关系，而高次函数描述的都不是线性的数量关系。比如 \(y_{1}=3 x, \quad y_{2}=\frac{1}{3} x\) 和 \(y_{3}=3 x+1\) 都属于这种意义下的线性函数，但 \(y_{4}=x^{2} ,\quad y_{5}=x+z ,\quad y_{6}=x+z+2\) 和 \(y_{7}=x z\) 则不是。（如果将这种意义下的【线性】概念推广到多元函数，则 \(y_6\) 也能算。事实上，【多元线性回归】的【线性】指的就是这种线性。）
• 而按照定义2，若以一元函数为例，则截距为 0 的一次函数 (即正比例函数) 属于线性函数，但截距不为 0 的一次函数则不属于线性函数。又如 \(y_{1}=3 x,\quad y_{2}=\frac{1}{3} x\) 和 \(y_{5}=x+z\) 都属于这种意义下的线性函数（\(y_5\) 特征向量的维数为 2 ，即此时 \(\mathbf{x} = (x,z)'\) ，此时可以轻易证明其符合可加性和齐次性 ）。但是 \(y_{3}=3 x+1,\quad y_{4}=x^{2},\quad y_{6}=x+z+2\) 和 \(y_{7}=x z\) 都不是。