什么是线性

今天发现,我们一直在说的“线性”二字居然是一个有歧义的概念。

概述

我查了一些资料,目前感觉还是维基百科对这个问题讲得最清楚全面,因此本文主要内容来自于维基百科-线性关系

在现代学术界中,线性关系一词存在2种不同的含义。其一,若某数学函数或数学关系的函数图形呈现为一条直线或线段,那么这种关系就是一种线性的关系。其二,在线性代数和数学分析中,如果一种运算同时满足可加性齐次性,则称这种运算是线性的。

定义

如果称一个数学函数 为线性的,可以是指:

  • 定义1 是一个只有一个变量的一阶多项式函数,即可以表示为 的形式(其中 k,b 为常数),此时的函数图形是一条直线。
  • 定义2 满足以下两个性质:
    • 可加性:
    • 齐次性:

需要注意这两种定义分别描述的是2种不同的事物。在初等数学中(主要是与方程组与一次函数有关的理论),使用的是定义1。但在高等数学(尤其是纯数学)中所说的线性一般使用的是定义2。如对线性相关和线性变换的定义。但是初等数学中有关【线性】的一些习惯术语也仍然在高等数学中沿用,如线性回归

定义1 的定义动机是把函数图像为直线的数量关系称作线性的关系。从这种几何意义出发,定义1本来不具有对多元函数进行推广的必要,因为形如 的函数的图形根本不是直线,而是平面或超平面,因此也就谈不上“线性”了。但是我们还是有这种做法出现。

例子

  • 按照定义1,一次函数描述的都是不同变量间的线性的数量关系,而高次函数描述的都不是线性的数量关系。比如 都属于这种意义下的线性函数,但 则不是。(如果将这种意义下的【线性】概念推广到多元函数,则 也能算。事实上,【多元线性回归】的【线性】指的就是这种线性。)
  • 而按照定义2,若以一元函数为例,则截距为 0 的一次函数 (即正比例函数) 属于线性函数,但截距不为 0 的一次函数则不属于线性函数。又如 都属于这种意义下的线性函数( 特征向量的维数为 2 ,即此时 ,此时可以轻易证明其符合可加性和齐次性 )。但是 都不是。
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