证明特征值的乘积为行列式，特征值的和为迹。

特征值和特征向量

这一小节的内容主要来自于吴恩达老师的讲义。

矩阵 的特征值和特征向量满足关系：

我们注意到对于任何特征向量 ，和特征值 ， ，因此 一样是 的特征向量。因此，当我们提到与特征值 的特征向量 时，我们一般假定特征向量 是标准化的，即 。但是，我们注意到， 和 都是特征向量，因此我们无法保证特征向量的符号。

我们可以将上式改写为：

如果我们将上式中的行列式展开，我们得到一个变量为 的 次多项式。

这个多项式称为特征多项式 (characteristic polynomial) ，而 这个方程称为矩阵 的特征方程 (characteristic equation) 。特征多项式的根即为 的特征值，如果对重根也计数，那么 将有 个特征值，但是某些特征值可能会是复数，这一点可以通过代数基本定理证明。

举个例子，假设 ，那么其特征方程为

那么 的特征值为 和

代数基本定理

维基百科的说明如下

代数基本定理说明，任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根（重根视为多个根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。

代数基本定理是高斯发现的，高斯总共给出了四个证明，但是我看维基百科后面的证明过程都看不懂。

有一个数学乐的网址，更简单直观地解释了代数基本定理，感兴趣可以去看一下这里 代数基本定理 。

简单地说，就是任何一个一元 n 次多项式均有 n 个根（包括重根），但是可能是复数。任何一元 n 次多项式可以因式分解为下面地形式，其中 为 n 个根 ，并且易得 为多项式第一项 的系数。

如果多项式有复数根，它所有的复数根必然为共轭对 ( 和 )。

特征值的乘积与和

这一节内容主要来自于《linear algebra with applications》 的第六章特征值。

若 为矩阵 的特征多项式，则

按照第一列展开，我们得到

我们注意到，子式 不包含一个对角线元素 () ，而其他子式 () 不包含两个对角线元素 和 。

将子式 采用相同的方法展开，我们得到下式是 的展开式中唯一包含超过 个对角线元素的项（不好直接证明，在草稿上继续展开，就可以看出规律，其他项应该都是包括了 个对角线元素 ）。

我们把这个式子展开后，易得 的系数为 ，因此 的首系数为 。根据代数基本定理，如果 为方阵 的特征根，那么 可以因式分解为

因此，我们得到下式，证明方阵的所有特征值之积为其行列式。

由 ，我们同样可以看出 的系数为 。如果对 同样求 的系数，可以得到其为 ，因此我们得到

因此我们证明所有特征值之和为矩阵的迹。

相似矩阵

这一节内容主要来自于《linear algebra with applications》 的第六章特征值。

对于矩阵 和矩阵 ，若存在一个非奇异矩阵 ，使得 ，那么我们称矩阵 相似于矩阵 。

定理：令矩阵 和矩阵 为 矩阵，若 相似于 ，则这两个矩阵有相同的特征多项式，且相应地有相同的特征值。

证明：令 和 分别为 和 的特征多项式。因为 相似于 ，则存在一个非奇异矩阵 ，使得 。因此

一个矩阵的特征值为特征多项式的根。因为两个矩阵有相同的特征多项式，所以它们必有相同的特征值。