特征值的乘积与和

证明特征值的乘积为行列式,特征值的和为迹。

特征值和特征向量

这一小节的内容主要来自于吴恩达老师的讲义。

矩阵 的特征值和特征向量满足关系:

我们注意到对于任何特征向量 ,和特征值 ,因此 一样是 的特征向量。因此,当我们提到与特征值 的特征向量 时,我们一般假定特征向量 是标准化的,即 。但是,我们注意到, 都是特征向量,因此我们无法保证特征向量的符号。

我们可以将上式改写为:

如果我们将上式中的行列式展开,我们得到一个变量为 次多项式。

这个多项式称为特征多项式 (characteristic polynomial) ,而 这个方程称为矩阵 特征方程 (characteristic equation) 。特征多项式的根即为 的特征值,如果对重根也计数,那么 将有 个特征值,但是某些特征值可能会是复数,这一点可以通过代数基本定理证明。

举个例子,假设 ,那么其特征方程为

那么 的特征值为

代数基本定理

维基百科的说明如下

代数基本定理说明,任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数。也就是说,复数代数封闭的。

有时这个定理表述为:任何一个非零的一元n次复系数多项式,都正好有n个复数根(重根视为多个根)。这似乎是一个更强的命题,但实际上是“至少有一个根”的直接结果,因为不断把多项式除以它的线性因子,即可从有一个根推出有n个根。也就是说,任何一个n次多项式,都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积

代数基本定理是高斯发现的,高斯总共给出了四个证明,但是我看维基百科后面的证明过程都看不懂。

有一个数学乐的网址,更简单直观地解释了代数基本定理,感兴趣可以去看一下这里 代数基本定理

简单地说,就是任何一个一元 n 次多项式均有 n 个根(包括重根),但是可能是复数。任何一元 n 次多项式可以因式分解为下面地形式,其中 n 个根 ,并且易得 为多项式第一项 的系数。

如果多项式有复数根,它所有的复数根必然为共轭对 ()。

特征值的乘积与和

这一节内容主要来自于《linear algebra with applications》 的第六章特征值。

为矩阵 的特征多项式,则

按照第一列展开,我们得到

我们注意到,子式 不包含一个对角线元素 () ,而其他子式 () 不包含两个对角线元素

将子式 采用相同的方法展开,我们得到下式是 的展开式中唯一包含超过 个对角线元素的项(不好直接证明,在草稿上继续展开,就可以看出规律,其他项应该都是包括了 个对角线元素 )。

我们把这个式子展开后,易得 的系数为 ,因此 的首系数为 。根据代数基本定理,如果 为方阵 的特征根,那么 可以因式分解为

因此,我们得到下式,证明方阵的所有特征值之积为其行列式。

,我们同样可以看出 的系数为 。如果对 同样求 的系数,可以得到其为 ,因此我们得到

因此我们证明所有特征值之和为矩阵的迹。

相似矩阵

这一节内容主要来自于《linear algebra with applications》 的第六章特征值。

对于矩阵 和矩阵 ,若存在一个非奇异矩阵 ,使得 ,那么我们称矩阵 相似于矩阵

定理:令矩阵 和矩阵 矩阵,若 相似于 ,则这两个矩阵有相同的特征多项式,且相应地有相同的特征值。

证明:令 分别为 的特征多项式。因为 相似于 ,则存在一个非奇异矩阵 ,使得 。因此

一个矩阵的特征值为特征多项式的根。因为两个矩阵有相同的特征多项式,所以它们必有相同的特征值。

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