假设 和 为 的方阵，存在 ，证明 ，或者说 和 互为逆矩阵。

首先我们看逆矩阵定义：

一个 的正方矩阵 满足 时, 就称矩阵 是矩阵 的逆矩阵, 记为 ^[1]。

也就说根据定义，证明逆矩阵需要证明两边均成立，即 ，这里我们提出的问题就是只要证明一边就行了。

第一种证明：根据秩的性质

我们可以根据秩的一个性质来证明^[2]，存在

因为 ，所以 ， ，由于 和 的秩最大为 n，所以 ，二者均为非奇异矩阵。所以

所以， 和 互为逆矩阵。

第二种证明：根据行列式的性质

因此 和 均为非奇异矩阵，证明二者互逆同上。

第三种证明：根据齐次方程解的数目

假设 是一个齐次方程组，存在^[3]

因此， 是该齐次方程组的唯一解，所以 为非奇异矩阵，证明二者互逆同上。