AB=I证明BA=I

假设 的方阵,存在 ,证明 ,或者说 互为逆矩阵。

首先我们看逆矩阵定义:

一个 的正方矩阵 满足 时, 就称矩阵 是矩阵 的逆矩阵, 记为 ^1

也就说根据定义,证明逆矩阵需要证明两边均成立,即 ,这里我们提出的问题就是只要证明一边就行了。

第一种证明:根据秩的性质

我们可以根据秩的一个性质来证明^2,存在

因为 ,所以 ,由于 的秩最大为 n,所以 ,二者均为非奇异矩阵。所以

所以, 互为逆矩阵。

第二种证明:根据行列式的性质

因此 均为非奇异矩阵,证明二者互逆同上。

第三种证明:根据齐次方程解的数目

假设 是一个齐次方程组,存在^3

因此, 是该齐次方程组的唯一解,所以 为非奇异矩阵,证明二者互逆同上。

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