假设 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 为 \(n \times n\) 的方阵，存在 \(\boldsymbol{AB=I}\) ，证明 \(\boldsymbol{BA=I}\) ，或者说 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 互为逆矩阵。

首先我们看逆矩阵定义：

一个 \(n \times n\) 的正方矩阵 \(\boldsymbol{B}\) 满足 \(\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I}\) 时, 就称矩阵 \(\boldsymbol{B}\) 是矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的逆矩阵, 记为 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) [1]。

也就说根据定义，证明逆矩阵需要证明两边均成立，即 \(\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I}\) ，这里我们提出的问题就是只要证明一边就行了。

第一种证明：根据秩的性质

我们可以根据秩的一个性质来证明[2]，存在 \[ \operatorname{rank}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min \{\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}), \operatorname{rank}(\boldsymbol{B})\} \] 因为 \(rank(\boldsymbol{AB}) = rank(\boldsymbol{I}) = n\) ，所以 \(rank(\boldsymbol{A}) \geq n\) ， \(rank(\boldsymbol{B}) \geq n\) ，由于\(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 的秩最大为 n，所以 \(rank(\boldsymbol{A}) = rank(\boldsymbol{B})= n\) ，二者均为非奇异矩阵。所以 \[ \boldsymbol{A^{-1}AB=A^{-1}I} \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{B=A^{-1}} \] 所以， \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 互为逆矩阵。

第二种证明：根据行列式的性质

\[ \begin{aligned} &\det(\boldsymbol{AB})=\det(\boldsymbol{A})\det(\boldsymbol{B})=\det(\boldsymbol{I})=1 \\ &\therefore\ \det(\boldsymbol{A}) \neq 0,\quad \det(\boldsymbol{B}) \neq 0 \end{aligned} \]

因此 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 均为非奇异矩阵，证明二者互逆同上。

第三种证明：根据齐次方程解的数目

假设 \(\boldsymbol{BX=0}\) 是一个齐次方程组，存在[3] \[ B X=0 \Longrightarrow A(B X)=A 0 \Longrightarrow(A B) X=0 \Longrightarrow I X=0 \Rightarrow X=0 \] 因此，\(\boldsymbol{X=0}\) 是该齐次方程组的唯一解，所以 \(\boldsymbol{B}\) 为非奇异矩阵，证明二者互逆同上。

参考文献

1. 张贤达：《矩阵分析与应用》第二版
2. https://math.stackexchange.com/questions/3852/if-ab-i-then-ba-i
3. https://sharmaeklavya2.github.io/theoremdep/nodes/linear-algebra/matrices/product-equals-identity-implies-invertible.html