在 ssGBLUP 中需要构建 A22 矩阵，通过 Colleau 算法可以避免直接构建 A 矩阵，节约内存和时间。

A 阵分解

我们可以将 分解为 （要求系谱按照出生日期顺序排序）。

其中 是一个对角矩阵，其元素计算公式如下，其中 是近交系数。

这里 是一个下三角矩阵，对角线元素为 0，非对角线只有亲子间为 0.5，其余元素也为 0 。

矩阵举例如下：

Colleau 算法

Colleau (2002) 年证明 阵与一个向量 的乘积可以在一个线性的时间内计算完成，如下

这里我们可以分步骤进行计算：

• 首先我们定义 ，转换一下我们可以通过求解三角方程组 得到 。

• 然后我们得到 ，转换一下我们可以通过求解三角方程组 得到 。

标量公式如下（第一行是采用 outer-product 的原理；第二行是采用向量内积的原理）

这里的 和 表示个体 的父母本。

通过 Colleau 算法可以用于计算子矩阵，举个例子，下面展示了如何计算 ， 。

构建 A22 矩阵

这里需要注意的是，构建 阵时是按照出生日期顺序排序，但是我们提取A22 矩阵要求按照无基因型个体在前，有基因型个体在后的顺序排列，因此我们还要对原始的 阵的行和列进行重新重排。我们设相应的置换矩阵为 ，重排后按照无基因型个体在前，有基因型个体在后的顺序的矩阵称为 矩阵，则有

此时我们逐列提取 A22 矩阵的每一列，举个例子，假如基因型个体在 矩阵中的位置是 80 到 100，那么我们构建第一个 向量就是在 80位置为1，其它位置为0；构建第二个 向量就是在 81位置为1，其它位置为0 …以此类推。

通过 便可以得到 A22 矩阵个体的一列，其计算公式为

这里我们可以同样分步骤进行计算：

• 首先计算

• 我们定义 ，转换一下我们可以通过求解三角方程组 得到 。

• 然后我们得到 ，转换一下我们可以通过求解三角方程组 得到 。

• 然后我们通过 得到 。

最后这里得到的 还包含一些无关元素，按照上例，还需要从 提取从 80 到 100 的位置的元素，这才是真正的 A22 矩阵的一列元素。

参考文献

1. Colleau J J. An indirect approach to the extensive calculation of relationship coefficients[J]. Genetics Selection Evolution, 2002, 34(4): 409.

2. Misztal I, Aguilar I, Legarra A, et al. A unified approach to utilize phenotypic, full pedigree, andgenomic information for genetic evaluation[C]//9. World Congress on Genetics Applied to Livestock Production. 2010.