正定矩阵都是对称矩阵吗

正定矩阵的概念来自于二次型,在定义正定矩阵时,就已经明确了正定矩阵是 Hermitian 矩阵的一种 (对于实数矩阵,就是指对称矩阵)。

矩阵的二次型

下面的内容来自于张贤达老师的《矩阵分析与应用》书中。

任意一个方阵 的二次型定义为 , 其中 可以是任意的非零复向量。 以实矩阵为例, 考查二次型

这是变元 的二次型函数, 故称 为矩阵 的二次型。
推而广之, 若 , 且 矩阵 的元素为 , 则二次型

根据这一公式, 显然

具有相同的二次型, 即

这就是说, 对于任何一个二次型函数

而言, 存在许多矩阵 , 它们的二次型 相同。但是, 只有一个唯一的对称矩阵 满足 , 其元素为 , 其 中, 。因此, 为了保证定义的唯一性, 在讨论矩阵 的二次型 时, 有必要假定 为实对称矩阵或复共轭对称 (即 Hermitian) 矩阵

因此,在二次型的概念中,我们不严格要求矩阵 为实对称矩阵或复共轭对称 (即 Hermitian) 矩阵,仅仅要求 其为方阵,但是通常我们还是假定其为实对称矩阵或复共轭对称 (即 Hermitian) 矩阵。

正定矩阵定义

下面这几段话来自于维基百科^1

在线性代数裡,正定矩阵 (英語: positive-definite matrix) 是埃尔米特矩阵的一种,有时会简称为正定阵。在线性代数中,正定矩阵的性质類似复数中的正实数。

一个 实对称矩阵 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 ,都有 。其 中 表示 的转置。
对于复数的情况,定义则为: 一个 的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵) 是正定的当且仅当对于每个非零的禎向量 ,都有 。其中 表示 的共轭转置。由于 是埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的複向量 必然是实数,从而可以与比较大小。因此这个定义是自洽的。

我们可以看到,对于实数矩阵而言,正定矩阵定义时就要求其为对称矩阵

非埃尔米特矩阵的情况

下面这段话主要来自于维基百科^1

如果一个非对称的实数矩阵M满足对所有非零实向量 x,有 ,当且仅当对称矩阵 是正定矩阵。

对于复系数矩阵,情况可能不太一样。主要看的是怎样扩展 这一性质。要使 总为实数,矩阵 必须是埃尔米特矩阵。因此,若 总是正实数, 必然是正定的埃尔米特矩 阵。如果将 扩展为 ,则等价于 为正定阵。

然后从知乎找到了一个回答[^2]。其证明了一个非对称的实数矩阵 的二次型等于对称矩阵 的二次型。

对于任何一个方阵 ,我们都可以将其分解为:

这里 是对称矩阵,前面已经提到了。后面 为反对称矩阵,下面来证明

因此,易得 的二次型为 0 。方阵 的二次型为:

因此,从个人理解来说,由于所有非对称方阵的二次型均可以转化为对称方阵,再加上对称矩阵的诸多优良性质,那就不如直接将正定矩阵定义在对称矩阵的基础上。

[^2]: 正定矩阵一定是对称阵吗? - 益者三友的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/66922790/answer/1463342936

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