矩阵秩的性质的证明比较少，看到了一个很好的回答，简单地记录一下。

本文内容基本来自于 Rank of the Product of Matrices ABAB is Less than or Equal to the Rank of A ，感兴趣的可以自己去看一下。

问题

如果 \(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，\(B\) 是一个 \(n \times q\) 的矩阵，证明下面两个性质：

1. \(\operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(A)\) ，\(\operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(B)\)

2. 如果 \(B\) 非奇异，\(\operatorname{rank}(A B) = \operatorname{rank}(A)\)

解决这个问题前，首先我们要先看看矩阵列空间的定义和性质。

矩阵的列空间

下面这段话来自于吴恩达老师 CS229 课程的讲义。

一个向量集合的张成空间 (span) 定义为这些向量的线性组合，即为： \[ \operatorname{span}\left(\left\{x_{1}, \ldots x_{n}\right\}\right)=\left\{v: v=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i}, \alpha_{i} \in \mathbb{R}\right\} \] 如果 \(\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) 是 \(n\) 个线性无关的向量，那么其张成空间就是 \(\mathbb{R}^{n}\) 。

一个向量 \(y \in \mathbb{R}^{m}\) 在 \(\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) 的张成空间的投影 (projection) ，定义为在张成空间中与 \(y\) 距离最近的一个点 (向量)，写作： \[ \operatorname{Proj}\left(y ;\left\{x_{1}, \ldots x_{n}\right\}\right)=\operatorname{argmin}_{v \in \operatorname{span}\left(\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\right)}\|y-v\|_{2} \] 一个矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 的列空间 (range, column space) 是它的列张成的空间，即为 \(\mathcal{R}(A)\) （好像也有人写作 \(C(A)\) 或 \(Col(A)\) ），即： \[ \mathcal{R}(A)=\left\{v \in \mathbb{R}^{m}: v=A x, x \in \mathbb{R}^{n}\right\} \] 为什么可以写成 \(Ax\) 呢，我们可以将 \(A\) 写成列向量的形式，得到下式，因此 \(Ax\) 就是 \(A\) 的列的张成空间。 \[ \begin{aligned} A x &=\left[a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right]\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right] \\ &=x_{1} a_{1}+x_{2} a_{2}+\cdots+x_{n} a_{n} \end{aligned} \] ## 列空间的维度

矩阵 \(A\) 的列空间的维度等于矩阵 \(A\) 的秩，即存在 \[ \operatorname{dim} \mathcal{R}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \] 这个很好证明，假设矩阵 \(A\) 有 \(k\) 个线性无关的列，即 \(\operatorname{rank}(\mathbf{A}) = k\) ，那么矩阵 \(A\) 的所有列张成的空间就是其 \(k\) 个线性无关的列张成的空间（因为其他列都是这 \(k\) 列的线性组合），而 \(k\) 个线性无关的列的张成空间的维度就是 \(k\) ，即 \(\operatorname{dim} \mathcal{R}(\mathbf{A})= k\) ，因此得证矩阵 \(A\) 的列空间的维度等于矩阵 \(A\) 的秩。

证明 AB 的秩小于等于 A

根据列空间的性质，我们有： \[ \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{dim}(\mathcal{R}(A B)), \quad \operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(\mathcal{R}(A)) \] 我们知道，如果一个向量空间 \(V\) 是向量空间 \(W\) 的子空间，那么必然存在： \[ \operatorname{dim}(V) \leq \operatorname{dim}(W) \] 因此，我们只需要证明 \(\mathcal{R}(A B)\) 是 \(\mathcal{R}(A)\) 的子空间即可。

现在假定对于任意一个向量 \(\mathbf{y} \in \mathcal{R}(A B)\) ，因此存在一个相应的 \(\mathbf{x} \in R^{q}\)，使得 \(\mathbf{y}=(A B) \mathbf{x}\) ，以符合列空间的定义。

此时，我们设 \(\mathbf{z}=B \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}\) ，因此我们有 \[ \mathbf{y}=A(B \mathbf{x})=A \mathbf{z} \] 因此， \(\mathcal{R}(AB)\) 中的任何一个向量 \(\mathbf{y}\) 均同样在 \(\mathcal{R}(A)\) 中，也就是说， \(\mathcal{R}(AB)\) 是 \(\mathcal{R}(A)\) 的一个子空间，因此，我们有 \[ \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{dim}(\mathcal{R}(A B)) \leq \operatorname{dim}(\mathcal{R}(A))=\operatorname{rank}(A) \] 得证。

证明 AB 的秩小于等于 B

首先，我们知道矩阵的转置与原矩阵的秩相同（矩阵线性无关的列数=线性无关的行数）。因此我们有 \[ \begin{aligned} \operatorname{rank}(AB) &= \operatorname{rank}(B^{T}A^{T}) \\ & \leq \operatorname{rank}(B^{T}) \\ & = \operatorname{rank}(B) \\ \end{aligned} \] 这里第二行采用了上面的结论，AB 的秩小于等于 A。

因此，我们得证 \(\operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(B)\) ，联合这两个性质，则有 \[ \operatorname{rank}(A B) \leq \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\} \]

证明如果 B​ 非奇异, AB 的秩等于 A

我们已知 \(\operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(A)\) ，因此存在： \[ \operatorname{rank}\left((A B) B^{-1}\right) \leq \operatorname{rank}(A B) \] 再采用这个性质，因此我们有： \[ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}\left((A B) B^{-1}\right) \leq \operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(A) \] 如果一系列不等式的两头相等，那么中间的所有不等式就一定为等式，因此此时，我们有： \[ \operatorname{rank}(A B) = \operatorname{rank}(A) \]

闲话

从这个帖子的网站主页来看，这个网站貌似就是解决数学问题的，或者证明数学公式的，有时间可以看看，网址见下方。

https://yutsumura.com/