证明AB的秩小于等于A的秩

矩阵秩的性质的证明比较少,看到了一个很好的回答,简单地记录一下。

本文内容基本来自于 Rank of the Product of Matrices ABAB is Less than or Equal to the Rank of A ,感兴趣的可以自己去看一下。

问题

如果 是一个 的矩阵, 是一个 的矩阵,证明下面两个性质:

(a)

(b) 如果 非奇异,

解决这个问题前,首先我们要先看看矩阵列空间的定义和性质。

矩阵的列空间

下面这段话来自于吴恩达老师 CS229 课程的讲义。

一个向量集合的张成空间 (span) 定义为这些向量的线性组合,即为:

如果 个线性无关的向量,那么其张成空间就是

一个向量 的张成空间的投影 (projection) ,定义为在张成空间中与 距离最近的一个点 (向量),写作:

一个矩阵 列空间 (range, column space) 是它的列张成的空间,即为 (好像也有人写作 ),即:

为什么可以写成 呢,我们可以将 写成列向量的形式,得到下式,因此 就是 的列的张成空间。

列空间的维度

矩阵 的列空间的维度等于矩阵 的秩,即存在

这个很好证明,假设矩阵 个线性无关的列,即 ,那么矩阵 的所有列张成的空间就是其 个线性无关的列张成的空间(因为其他列都是这 列的线性组合),而 个线性无关的列的张成空间的维度就是 ,即 ,因此得证矩阵 的列空间的维度等于矩阵 的秩。

证明 AB 的秩小于等于 A

根据列空间的性质,我们有:

我们知道,如果一个向量空间 是向量空间 的子空间,那么必然存在:

因此,我们只需要证明 的子空间即可。

现在假定对于任意一个向量 ,因此存在一个相应的 ,使得 ,以符合列空间的定义。

此时,我们设 ,因此我们有

因此, 中的任何一个向量 均同样在 中,也就是说, 的一个子空间,因此,我们有

得证。

证明 AB 的秩小于等于 B

首先,我们知道矩阵的转置与原矩阵的秩相同(矩阵线性无关的列数=线性无关的行数)。因此我们有

这里第二行采用了上面的结论,AB 的秩小于等于 A。

因此,我们得证 ,联合这两个性质,则有

证明如果 B​ 非奇异, AB 的秩等于 A

我们已知 ,因此存在:

再采用这个性质,因此我们有:

如果一系列不等式的两头相等,那么中间的所有不等式就一定为等式,因此此时,我们有:

闲话

从这个帖子的网站主页来看,这个网站貌似就是解决数学问题的,或者证明数学公式的,有时间可以看看,网址见下方。

https://yutsumura.com/

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