之前在奇异值分解与穆尔-彭罗斯伪逆简单地学了一下MP逆，下面进一步学习MP逆矩阵的性质。

定义

对于任意矩阵 ，其MP逆矩阵记为 ，其为满足下面四个条件的解（注意下面的 *号表示共轭转置，下同）。

(1) ;
(2)
(3) ;
(4) ;

唯一性及构造

在 奇异值分解与穆尔-彭罗斯伪逆 中，我们证明了基于 的奇异值分解可以得到满足上面四个条件的MP逆为 。因此对于任意矩阵 , 至少存在一个MP逆满足上面四个条件，下面我们进一步证明MP逆的唯一性。

假设 和 均是矩阵 的MP逆矩阵，通过反复利用 MP 逆矩阵的四个方程，有

因此我们得证，对于任意矩阵 ，均存在唯一的一个MP逆矩阵，即 。

我们还有一种表示形式，假设 有满秩分解 ，其中 $\boldsymbol{F} \in \boldsymbol{C}^{m \times r}, \boldsymbol{G} \in \boldsymbol{C}^{r \times n}, r=r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{F})=r(\boldsymbol{G}) $ ，则我们有

证明：首先我们要证明 为可逆矩阵，注意到 ，于是方阵 和 均为可逆矩阵，因此 也是可逆矩阵，并且

带入 ，得到

易证该式满足MP逆矩阵的四个条件，因此该式为 MP 逆矩阵，证明完毕。

实际上，存在（同样可以带入上面四个方程来证明）

因此上面的结论也可以写成

但是一般来说 ，这是 MP 逆矩阵和普通逆矩阵的一个不同之处。

最后一种 的表达形式如下（缺证明）

基本性质

性质1

• 的满秩形式

  • 若 可逆，则

  • 若 为列满秩矩阵，则

  • 若 为行满秩矩阵，则

  • 设 是秩为 的 的矩阵，其中 为 的列满秩矩阵， 为 的行满秩矩阵，则

  

  这其实是满足乘法公式的一个特例，证明如下，首先我们知道 ， ，因此我们带入MP逆的四个方程，易证 。

• 

• 

  只要对MP逆矩阵的四个条件的左右两边均进行转置即可得证。这条性质表明如果 为 Hermite 矩阵，则 也是 Hermite 矩阵。

• 记

​ 则

• 若 , 则

• 

• 

  证明：由 {1}-逆的性质 ，有

  

  又由于 ，因而得证

• 

同上。

性质2

对于任意的矩阵 ，均有以下等式成立

• .
• .
• .
• .

这里第一条和第二条是等价的，通过第三条可以轻松得到第四条，因此只需要证明第一条和第三条即可。我们先看第一条，代入奇异值分解形式，我们有

得证第一条。

我们再看第三条，我们易得 ，易知该式就是 的对角化/奇异值分解的形式，因此 ，其中 格式为下式

易得 ，因此我们得证

同理可证，

推论，假设 ，并且对一切 ，均满足

则有

这个性质同样可以通过带入 MP 逆的四个方程得证。

性质3

设 ，则

• 和 都是 Hermite 幂等矩阵

• 

• , 这里 表示 .

我们先看第一条，根据MP逆的性质，易得上面四个矩阵为 Hermite 矩阵，我们只需要证明其幂等，如下

我们再看第二条性质，根据奇异值分解形式，易得 $r(\boldsymbol{A})= r\left(\boldsymbol{A}^{+}\right) =r\left(\boldsymbol{A}^{+} \boldsymbol{A}\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{+}\right) $ 。后面两条可以根据对称幂等矩阵的秩等于秩的性质证明，如下

第三条，根据对称幂等矩阵的性质，如果 奇异，对称，并且幂等，那么 半正定，证明如下

因此 和 均为半正定矩阵。

性质4

我们知道向矩阵 的列空间投影的投影矩阵为 (最小二乘的几何含义)

这个式子与所含的广义逆的选择无关，因此我们带入 MP 逆得到

因此矩阵 为向 的正交投影矩阵。

同理可得，向矩阵 的行空间投影的投影矩阵为

性质5

对于一般的广义逆（只满足MP逆的第一个方程），假设 均为可逆矩阵时，存在

证明很简单，如下

但是一般来说，对于 MP 逆， 并不成立，然而我们有以下结论

• 若 和 分别为 和 酉阵, 则

• 若 和 分别为 和 阵, 且满足 ,
  . 则

证明很简单，只要带入MP逆的四个方程即可得证。

性质6

• 若矩阵 为 Hermite 幂等矩阵，则
• 若矩阵 为正规矩阵，则
• 若矩阵 为正规矩阵，对任意一个自然数 , 满足

第一条证明如下：设 的正规矩阵 ( ) ，则其对角化分解为

其中 为 的酉矩阵，则

由于 Hermite 幂等矩阵的特征值只能是 0 和 1 ，因此立即得到 。

第二条证明如下

得证

第三条证明如下

性质7

• 
• 
• 

首先证明第一条，首先证明若 则 。此时我们有 ，左乘 ，再右乘 得到

根据 ，可得

反过来，证明如果 则 。左乘 ，再右乘 ，我们有

再证明第二条，若 ，右乘 得到 ；反过来，如果 ，右乘 ，我们得到 。

第三条根据第二条同理可证。

乘法公式

对于 MP 逆矩阵，乘法公式一般不成立，即 ，但是在某些条件下这个等式成立。

我们先看一个引理，设 ,

则必有 。

证明：容易看出MP逆的后两个方程成立，因此只需要看前两个方程，我们有 ，因此第一个方程成立，再证明第二个方程，我们有

因此得到

由于 的列均是 的列的线性组合，因此

因此存在矩阵 ，使得 ，对这个式子左乘 得到

得证。

充分必要条件

当且仅当下列两个条件同时成立时，乘法公式 成立。

证明：

首先证明充分性，假设这两个条件成立，用 和 分别左乘、右乘 的两边，其左侧变为

根据 ，得到 ，得到左侧为 。我们看右侧为

左侧等于右侧得到

我们再看第二个条件，将其两边做转置共轭运算，得到

用 和 分别左乘、右乘上式两边，左边变为

右侧变为

左侧等于右侧，得到

另外，我们有

因此

将这个式子，与两个条件的推导式子结合起来，再利用乘法公式一开始介绍的引理 (设 , 则必有 。) ，因此我们证明了乘法公式成立，即 。

我们再看必要性，根据 ，我们有 ，带入乘法公式，得到

用 左乘上式，并利用 ，得到

即

因为 为半正定 Hermite 矩阵，因此可以分解为 ，其中 ，因此我们有

因此 ，由于只有 矩阵的秩才为 0 ，因此 ，左乘 ，得到 ，因此证明了第一个条件。

第二个条件等价于证明 ，这和第一个条件是类似地，因此同理可得第二个条件成立。

推论1

推论：当且仅当下面两个条件成立时，乘法公式成立

证明：我们只需要证明这里的两个条件和上面的两个条件等价即可。

因为 是 列空间的投影矩阵，我们有

于是我们有

推论2

推论：若 和 皆为 Hermite 阵, 则乘法公式成立.

证明：若 为 Hermite 矩阵，则

用 右乘上式，得

因此充要条件的第一个条件成立。

若 为 Hermite 矩阵，则

用 右乘上式，得

因此充要条件的第二个条件成立，于是乘法公式成立，得证。

参考文献

1. Rencher A C, Schaalje G B. Linear models in statistics[M]. John Wiley & Sons, 2008.
2. 王松桂, 杨振海. 广义逆矩阵及其应用[M]. 北京工业大学出版社, 1996.