方阵的秩等于非零特征值的数目吗

这是一句很容易混淆的话,答案是错的,方阵的秩不一定等于非零特征值的数目。

查了一些资料,但只有一篇文章给出了严密的证明。本文内容来自于张景晓老师的文章,是一篇读书笔记。

反例

先看一个反例

对于下面的矩阵,其秩为 3 , 然而它的特征值均为 0 (三角矩阵的特征值等于对角线元素)。

这就说明方阵的秩不一定等于非零特征值的数目。

矩阵的秩 和非零特征值个数 间的关系

定理1:对于任意 阶方阵 都有

证明:当矩阵 可逆时, ,此时我们设 是矩阵 的全部特征根, 则 (证明可参考特征值的乘积与和 ), 从而 个非零特征值, 故 , 此时 ,上面的定理成立。

当矩阵 不可逆时,此时 ,矩阵 的行向量组 的秩是 , 故该向量组中必有 个向量线性无关,不妨设 前 个向量 线性无关,则 均可由 线性表出, 设 $\alpha_{i}= k_{i 1} \alpha_{1}+k_{i 2} \alpha_{2}+\cdots+k_{i r} \alpha_{r}, \quad i=r+1, r+2, \cdots, n $ ,则有

的特征行列式的第 分别乘以 后均加到第 上得(注意:这里将第某一个行的倍数加到另外一行,不会改变行列式的大小。)

由此可知,矩阵 至少有 个零特征值, 从而 至多有 个非零特征值, 因此有

的充分条件

1 可对角化

定理2: 若矩阵 可对角化,则 .

如果 可对角化.故存在可逆阵 使得

其中 是矩阵 的全部特征根 ,由于矩阵 可逆,故矩阵 的秩与对角矩阵的秩相同,即等于非零特征值数目,从而有

推论 1 若矩阵 A 的秩与它的非零特征值个数不相等 ,则矩阵 A不可对角化.

该推论是定理2的逆否命题,因此成立。

推论 2 实对称矩阵的秩与其非零特征 值个数相同。

根据谱定理,实对称矩阵均可对角化,因此该结论成立

推论 3 设矩阵 的实矩阵,则有

证明:由于矩阵 是实矩 阵 ,从 而 均实对称 ,由推论 2 得, ,又因为 ,因此我们有

2 矩阵可逆

证明见上。

的充分必要条件

暂时看不懂,放着

参考文献

  1. 张景晓.矩阵的秩与其非零特征值个数相等的条件J.德州学院学报,2012,28(4):5-8
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