本章节介绍最普通的广义逆，{1}-广义逆的构造和性质。

{1}-逆的定义

一个相容的线性方程组 \(\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{c}\) 的解可以表示为 \(A\) 的广义逆的式子。

对于一个 \(n \times p\) 的矩阵 \(A\) ，定义其广义逆 \(A^{-}\) 满足： \[ \mathbf{A} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A}=\mathbf{A} \] 一个矩阵广义逆一般不唯一，除非矩阵 \(A\) 为非奇异矩阵，此时 \(A^{-} = A^{-1}\) 。

无论是方阵，还是非方阵也有广义逆，甚至向量均有广义逆，比如如果 \[ \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) \] 它的一个广义逆为 \(\mathbf{x}_{1}^{-}=(1,0,0,0)\) 。

定理： 如果 \(A\) 为 \(n \times p\) 的矩阵，那么其广义逆 \(A^{-}\) 为 $ p n$ 的矩阵。

{1}-逆的构造

一般构造

第一种形式

定理：设 \(\mathbf{A} \in \mathbf{C}^{m \times n}\) , 其秩为 \(r\) ，其相抵标准形为 \[ \mathbf{A}= \mathbf{P} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{Q} \] 其中 \(\mathbf{P}\) 和 \(\mathbf{Q}\) 分别为 \(m \times m\) 和 \(n \times n\) 的可逆矩阵，则 \[ \mathbf{A^{-}} = \mathbf{Q}^{-1} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{B}_{12} \\ \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array}\right) \mathbf{P}^{-1} \] 其中 \(\mathbf{B}_{12}\)、 \(\mathbf{B}_{21}\) 和 \(\mathbf{B}_{22}\) 为任意矩阵。

证明：设 \(\mathbf{X}\) 为任意一个 \(\mathbf{A}^{-}\) ，则有 \[ \mathbf{P} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{Q} \mathbf{X} \mathbf{P} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{Q} = \mathbf{P} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{Q} \] 因为 \(\mathbf{P}\) 和 \(\mathbf{Q}\) 均为可逆矩阵，因此同时左乘 \(\mathbf{P}^{-1}\) 和 右乘 \(\mathbf{Q}^{-1}\) 得到 \[ \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{Q} \mathbf{X} \mathbf{P} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \] 若设 \[ \mathbf{QXP} = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\ \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array}\right) \] 代入上式，得到 \[ \left(\begin{array}{cc} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \] 因此，我们得到 \(\mathbf{B}_{11} = \mathbf{I}_{r}\) 。这就证明了，当且仅当下式成立时， \(\mathbf{X}\) 为一个广义逆 \(\mathbf{A}^{-}\) \[ \mathbf{QXP} = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \] 得证。

则所有的 \(\mathbf{A}^{-}\) 的集合为 \[ \mathbf{A}\{1\} = \left\{\mathbf{A}^{-}:\mathbf{A}^{-} = \mathbf{Q}^{-1} \left(\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{r} & \mathbf{B}_{12} \\ \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array}\right) \mathbf{P}^{-1}, \mathbf{B}_{ij} \text{ 为适当阶数的任意矩阵} \right\} \]

第二种形式

定理：设 \(\mathbf{A} \in \mathbf{C}^{m \times n}\) , \(\mathbf{A}^{-}\) 为其特定的一个广义逆，则 $$ \[\begin{aligned} \mathbf{A}\{1\} &= \left\{ \mathbf{A^{-} + U - A^{-}AUAA^{-}}, \quad \mathbf{U} \in \mathbf{C}^{n \times m} \text{ 为任意矩阵 } \right\}; \\ \mathbf{A}\{1\} &= \left\{ \mathbf{A^{-} +Z(I_{m} - AA^{-}) + (I_{n} - A^{-}A)Y}, \quad \mathbf{Z,Y} \in \mathbf{C}^{n \times m} \text{ 为任意矩阵 } \right\}; \\ \end{aligned}\] \[ **证明**：将上面两个式子的集合分别记为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，易证，这两个集合中的每个矩阵都满足 $\mathbf{AXA = A}$ 。反过来，对于 $\mathbf{AXA = A}$ 的任意一个解 $\mathbf{X}$ ，取 $\mathbf{U = X - A^{-}}$ ，便可以推出 $ \mathbf{X} \in S_{1}$ 。若取 \] \[\begin{aligned} \mathbf{Z} &= \mathbf{X - A^{-}} \\ \mathbf{Y} &= \mathbf{X AA^{-}} \\ \end{aligned}\]

$$ 可以推出 $ S_{2}$ ，证毕。

分块矩阵的广义逆

定理： 如果 \(A\) 为 \(n \times p\) 的矩阵，秩为 \(r\) ，并且可以分块为： \[ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{array}\right) \] 其中 \(A_{11}\) 是一个 \(r \times r\) 的满秩矩阵。那么此时 \(A\) 的一个广义逆为： \[ \mathbf{A}^{-}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{A}_{11}^{-1} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{array}\right) \] 证明：通过分块矩阵乘积，我们得到: \[ \mathbf{A} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{I} & \mathbf{O} \\ \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} & \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} \mathbf{A}_{12} \end{array}\right) \] 这里我们需要证明 \(\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} \mathbf{A}_{12}=\mathbf{A}_{22}\) ，我们设 \[ \mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{I} & \mathbf{O} \\ -\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} & \mathbf{I} \end{array}\right) \] 因此，我们得到 \[ \mathbf{B A}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{O} & \mathbf{A}_{22}-\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} \mathbf{A}_{12} \end{array}\right) . \] 由于 \(B\) 为非奇异矩阵，因此 \(rank(BA) = rank(A)=r\) 。在 \(BA\) 中 ，其子矩阵 \(\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}_{11} \\ \mathbf{O}\end{array}\right)\) 的列秩为 \(r\) ，因此后面的列都是前面的列的线性组合，我们可以表示为下式，即等于 \(\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}_{11} \\ \mathbf{O}\end{array}\right)\) 右乘某个矩阵 \(Q\) 。 \[ \left(\begin{array}{c} \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{22}-\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} \mathbf{A}_{12} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \mathbf{A}_{11} \\ \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{Q} \] 右手项为： \[ \left(\begin{array}{c} \mathbf{A}_{11} \\ \mathbf{O} \end{array}\right) \mathbf{Q}=\left(\begin{array}{c} \mathbf{A}_{11} \mathbf{Q} \\ \mathbf{O Q} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \mathbf{A}_{11} \mathbf{Q} \\ \mathbf{O} \end{array}\right) \] 因此，\(\mathbf{A}_{22}-\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} \mathbf{A}_{12}=\mathbf{O}\) ，或者说 \[ \mathbf{A}_{22}=\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-1} \mathbf{A}_{12} . \] 因此，得证上式。

推论：如果 \(A\) 为 \(n \times p\) 的矩阵，秩为 \(r\) ，并且可以按上面一样的方式分块，其中 \(A_{22}\) 为 \(r \times r\) 的满秩矩阵，此时 \(A\) 的一个广义逆为： \[ \mathbf{A}^{-}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{O} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{A}_{22}^{-1} \end{array}\right) \] 事实上，这里满秩的子矩阵不一定必须为 \(A_{11}\) 或 \(A_{22}\) ，可以是任何子矩阵（缺证明）。

性质

简单

如果 \(A\) 为一个 \(n \times p\) 的秩为 \(r\) 的子矩阵，\(A^{-}\) 为 \(A\) 的任意一个广义逆，令 \((A'A)^{-}\) 为 \(A'A\) 的任意一个广义逆，那么存在：

• \(\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{-} \mathbf{A}\right)=\operatorname{rank}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{A})=r\) ，并且 \(\mathbf{A^{-}A}\) 和 \(\mathbf{AA^{-}}\) 均为幂等矩阵

  证明：我们已知 \(\operatorname{rank}(AB) \leq \min \{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B) \}\) ，因此存在 \[ \begin{aligned} &\operatorname{rank}(AA^{-}A) \leq \operatorname{rank}(A^{-}A) \leq \operatorname{rank}(A)\\ &\operatorname{rank}(AA^{-}A) \leq \operatorname{rank}(AA^{-}) \leq \operatorname{rank}(A)\\ \end{aligned} \] 不等式两头相同，因此得证 \(\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{-} \mathbf{A}\right)=\operatorname{rank}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{A})=r\)

  幂等矩阵证明如下 \[ \mathbf{A^{-}AA^{-}A = A^{-}(AA^{-}A) =A^{-}A} \]

  \[ \mathbf{AA^{-}AA^{-} = (AA^{-}A)A^{-} = AA^{-} } \]

• \(\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{-}\right) \geq \operatorname{rank}\left(\mathbf{A}\right)\) \[ \operatorname{rank}(AA^{-}A) \leq \operatorname{rank}(A^{-}A) \leq \operatorname{rank}(A^{-})\\ \] ​ 举个例子，对于幂等矩阵 \(\mathbf{x}=\left(\begin{array}{l} ​ 1 & 1\\ ​ 0 & 0 \\ ​ \end{array}\right)\) ，单位矩阵 \(\mathbf{I}_{2}\) 就是其一个广义逆。

• \(R(AA^{-}) = R(A)\)

  \(N(A^{-}A) = N(A)\) 或者写成 \(R((A^{-}A)^{H}) = R(A^{H})\)

  只证明第一条，第二条同理。易得 \(AA^{-}\) 的列空间是 \(A\) 的列空间的子空间，又由二者的秩相同，因此二者的列空间相同，得证。

• \((A^{-})'\) 是 \(A'\) 的广义逆，因此 \((A')^{-} = (A^{-})'\) 。

  证明如下 \[ \begin{aligned} A'(A^{-})'A' & = (AA^{-}A)' \\ &= A' \end{aligned} \] 因此，\((A^{-})'\) 是 \(A'\) 的广义逆 。

• 设 \(\mathbf{A} \in C^{m \times n}\) ，其秩为 \(r\) ，则

  • \(\mathbf{A^{-}A = I_{n}}\) 当且仅当 \(r=n\)
  • \(\mathbf{AA^{-} = I_{m}}\) 当且仅当 \(r=m\)

  证明：先看第一条，如果 \(\mathbf{A^{-}A = I_{n}}\) ，则 \(r\left(\mathbf{A^{-}A}\right) = r\left(\mathbf{A}\right) = n\) ；反过来，如果 \(r=n\) ，则 \(r\left(\mathbf{A^{-}A}\right) = r\left(\mathbf{A}\right) = n\) ，此时 \(\mathbf{A^{-}A}\) 非奇异，而非奇异的幂等矩阵只有单位矩阵，因此 \(\mathbf{A^{-}A = I_{n}}\) 。第二条同理。

复杂

定理1

定理：设 \(\mathbf{B} \neq \mathbf{0}\) ，\(\mathbf{C} \neq \mathbf{0}\) ，则矩阵 \(\mathbf{BA^{-}C}\) 与 \(\mathbf{A}^{-}\) 的选择无关，当且仅当 \[ R(\mathbf{C}) \subset R(\mathbf{A}), \quad R(\mathbf{B}^{'}) \subset R(\mathbf{A}^{'}) \] 证明：首先证明充分性，上面的条件等价于存在矩阵 \(\mathbf{X}\) 和 \(\mathbf{Y}\) ，使得 \(\mathbf{C = AX}\) ， \(\mathbf{B' = A'Y}\) ，于是 \[ \mathbf{BA^{-}C = Y'AA^{-}AX = Y'AX} \] 因此，矩阵 \(\mathbf{BA^{-}C}\) 与 \(\mathbf{A}^{-}\) 的选择无关。

再证明必要性，我们已知任意一个广义逆 \(\mathbf{A}^{-}\) 可以表示为下式，其中 \(\mathbf{A^{(1)}}\) 为任一特定的广义逆。 \[ \mathbf{A^{-} = A^{(1)} + U - A^{(1)}AUAA^{(1)}} \] 于是 \[ \mathbf{BA^{-}C = BA^{(1)}C + BUC - BA^{(1)}AUAA^{(1)}C} \] 若矩阵 \(\mathbf{BA^{-}C}\) 与 \(\mathbf{A}^{-}\) 的选择无关，则关于 \(\mathbf{U}\) 必须要消掉，即 \[ \mathbf{BUC - BA^{(1)}AUAA^{(1)}C = 0} \] 取 \(\mathbf{U = A^{(1)}AZ }\) ，其中 \(\mathbf{Z}\) 为任意矩阵 （有一个问题，这里 \(\mathbf{U = A^{(1)}AZ }\) 应该不能取到 \(\mathbf{C}^{n \times m}\) 的所有矩阵; 这不是问题，这里是说，\(\mathbf{U}\) 可以取为 \(\mathbf{A^{(1)}AZ }\) ），则 \[ \mathbf{BA^{(1)}AZ(C - AA^{(1)}C )= 0} \] 由于 \(\mathbf{Z}\) 为任意矩阵，则 \[ \mathbf{BA^{(1)}A = 0} \] 或者 \[ \mathbf{C = AA^{(1)}C } \] 如果 \(\mathbf{BA^{(1)}A = 0}\) ，则根据 \(\mathbf{BUC - BA^{(1)}AUAA^{(1)}C = 0}\) 可以立刻推出 \(\mathbf{BUC = 0}\) ，由于 \(\mathbf{U}\) 的任意性，我们就有 \(\mathbf{B = 0}\) 或 \(\mathbf{C = 0}\)，这与原假设矛盾，因此我们得到 \(\mathbf{C = AA^{(1)}C }\) 成立，这就说明 \(R(\mathbf{C}) \subset R(\mathbf{A})\) 。

同理，若取 \(\mathbf{U = ZAA^{(1)} }\) ，我们可以证明 $ R(^{‘}) R(^{’})$

定理2

定理：\(\mathbf{AA^{-}B = B}\) 当且仅当 \(R(\mathbf{B}) \subset R(\mathbf{A})\)

证明：必要性是显然的，我们证明充分性，假设 \(R(\mathbf{B}) \subset R(\mathbf{A})\) ，则存在一个 \(\mathbf{X}\) ，使得 \(\mathbf{B = AX}\) ，因此 \[ \mathbf{AA^{-}B = AA^{-}Ax = AX = B} \] 证毕。

定理3

• \(\mathbf{A}\left(\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}\right)^{-} \mathbf{A}^{*}\) 与 \((\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A})^{-}\) 的选择无关，且为 Hermite 矩阵，其秩与 \(\mathbf{A}\) 相同。

  证明：因为 \(R(\mathbf{A^{*}}) = R(\mathbf{A^{*}A})\) ，故存在矩阵 \(\mathbf{X}\) ，使得 \(\mathbf{A^{*} = A^{*}AX}\) ，因而 \[ \mathbf{A(A^{*}A)^{-}A^{*} = X^{*}A^{*}A(A^{*}A)^{-}A^{*}AX = X^{*}A^{*}AX } \] 因此得证 \(\mathbf{A(A^{*}A)^{-}A^{*}}\) 与 \((\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A})^{-}\) 的选择无关，且为 Hermite 矩阵

  下面我们证明其秩与 \(\mathbf{A}\) 相同，我们有 \[ r \left( \mathbf{A^{*}} \right) = r\left( \mathbf{A^{*}Ax} \right) \leq r\left( \mathbf{Ax} \right) \leq r\left( \mathbf{A} \right) \] 因此 \(r\left( \mathbf{Ax} \right) = r\left( \mathbf{A} \right)\) ，从而 \[ r \left( \mathbf{A(A^{*}A)^{-}A^{*}}\right) = r \left( \mathbf{X^{*}A^{*}AX } \right) = r \left( \mathbf{(AX)^{*}AX } \right) = r \left( \mathbf{AX } \right) = r \left( \mathbf{A } \right) \]

• \(\mathbf{ A = A(A^{*}A)^{-}A^{*}A }\) , \(\mathbf{A^{*} = A^{*}A(A^{*}A)^{-}A^{*}}\)

  上一条，我们证明了 \(\mathbf{A(A^{*}A)^{-}A^{*} = X^{*}A^{*}AX = X^{*}A^{*}}\) ，因此 \[ \mathbf{ A(A^{*}A)^{-}A^{*}A = X^{*}A^{*} A = A } \] 得证。第二个同理

• \(\left(\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}\right)^{-} \mathbf{A}^{*}\) 是 \(\mathbf{A}\) 的一个广义逆，也就是说 \(\mathbf{A}^{-}=\left(\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}\right)^{-} \mathbf{A}^{*}\) 。

  这个和上面是一样的，\(\mathbf{AGA} = \mathbf{A}\left(\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}\right)^{-} \mathbf{A}^{*} \mathbf{A} = \mathbf{A}\)

• 设 \(\mathbf{V}\) 为任一满足条件 $r( ) = r( ) $ 的 Hermite 矩阵，则 \(\mathbf{A(A^{*}VA)^{-}A^{*}VA = A}\)

  证明：由于 \(\mathbf{V}\) 为 Hermite 矩阵，易得 \(\mathbf{A^{*}VA}\) 也是 Hermite 矩阵。

  对于任意向量 \(\mathbf{x}\) , 则（为什么？我实在想不通。如果 \(\mathbf{V}\) 是正定矩阵，那么可以证明成立，左乘 \(\mathbf{x}^{*}\) 得到 $ $ ，由于 \(\mathbf{V}\) 正定，则必有 \(\mathbf{Ax = 0}\) 。） \[ \mathbf{A^{*}VAx = 0} \Rightarrow \mathbf{Ax = 0} \] 对 \(\mathbf{A^{*}VA(A^{*}VA)^{-}A^{*}VA = A^{*}VA}\) 进行转换，得到 \[ \mathbf{A^{*}V[A(A^{*}VA)^{-}A^{*}VA - A] = 0} \] 因此可得 \[ \mathbf{A(A^{*}VA)^{-}A^{*}VA = A} \] 得证。

一个对称矩阵的广义逆不一定是对称的，但是你一定可以找到一个对称的广义逆，我们通常假定对称矩阵的广义逆也是对称的。

线性方程组的解

定理： 如果 线性方程组 \(Ax = c\) 是相容的，并且 \(A^{-}\) 是 \(A\) 的一个广义逆，那么 \(x = A^{-}c\) 是一个解。

证明：根据广义逆，我们有： \[ \mathbf{A} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{A} \mathbf{x} \] 两边都用 \(Ax =c\) 替换，得到： \[ \mathbf{A} (\mathbf{A}^{-} \mathbf{c})=\mathbf{c} \]

因此 \(A^{-}c\) 是 \(Ax = c\) 的一个解。

注意，这里必须要已知方程组相容，才可以这样求解，这里举个不相容的例子

\[ \begin{aligned} &{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]} \\ &\\ &A^{-}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ &\\ &A^{-} c=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right] \\ &\\ &A A^{-} c=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right] \neq c \end{aligned} \]

定理： 如果 线性方程组 \(Ax = c\) 是相容的，那么所有可能的解可以通过两种方式得到：

1. 使用某个特定的 \(A^{-}\) ，设 \(\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-} \mathbf{c}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}^{-} \mathbf{A}\right) \mathbf{h}\) ，这里 \(h\) 为所有可能的值组成的随机的向量。
2. 对于所有可能的 \(A^{-}\) , 设 \(\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-} \mathbf{c}\) 如果 \(\mathbf{c} \neq \mathbf{0}\) 。

定理：当且仅当对于任何一个广义逆 \(A^{-}\) ，下式均成立时， 线性方程组 \(Ax = c\) 相容。 \[ \mathbf{A A}^{-} \mathbf{c}=\mathbf{c} \] 首先，如果线性方程组相容，那么 \(x = A^{-}c\) 是一个解，这个就是上面的定理。反过来，如果 \(\mathbf{A A}^{-} \mathbf{c}=\mathbf{c}\) 对于任何一个 广义逆 \(A^{-}\) 均成立，那么很显然方程组有解，即相容。

因此，我们看一个方程组是否相容，只要找一个广义逆 \(A^{-}\) ，查看是否存在 \(\mathbf{A A}^{-} \mathbf{c}=\mathbf{c}\) 即可。

参考文献

1. Rencher A C, Schaalje G B. Linear models in statistics[M]. John Wiley & Sons, 2008.
2. 王松桂, 杨振海. 广义逆矩阵及其应用[M]. 北京工业大学出版社, 1996.