广义逆及其性质

本章节介绍最普通的广义逆,{1}-广义逆的构造和性质。

{1}-逆的定义

一个相容的线性方程组 的解可以表示为 的广义逆的式子。

对于一个 的矩阵 ,定义其广义逆 满足:

一个矩阵广义逆一般不唯一,除非矩阵 为非奇异矩阵,此时

无论是方阵,还是非方阵也有广义逆,甚至向量均有广义逆,比如如果

它的一个广义逆为

定理: 如果 的矩阵,那么其广义逆 为 $ p \times n$ 的矩阵。

{1}-逆的构造

一般构造

第一种形式

定理:设 , 其秩为 ,其相抵标准形为

其中 分别为 的可逆矩阵,则

其中 为任意矩阵。

证明:设 为任意一个 ,则有

因为 均为可逆矩阵,因此同时左乘 和 右乘 得到

若设

代入上式,得到

因此,我们得到 。这就证明了,当且仅当下式成立时, 为一个广义逆

得证。

则所有的 的集合为

第二种形式

定理:设 , 为其特定的一个广义逆,则

证明:将上面两个式子的集合分别记为 ,易证,这两个集合中的每个矩阵都满足 。反过来,对于 的任意一个解 ,取 ,便可以推出 $ \mathbf{X} \in S_{1}$ 。若取

可以推出 $ \mathbf{X} \in S_{2}$ ,证毕。

分块矩阵的广义逆

定理: 如果 的矩阵,秩为 ,并且可以分块为:

其中 是一个 满秩矩阵。那么此时 的一个广义逆为:

证明:通过分块矩阵乘积,我们得到:

这里我们需要证明 ,我们设

因此,我们得到

由于 为非奇异矩阵,因此 。在 中 ,其子矩阵 的列秩为 ,因此后面的列都是前面的列的线性组合,我们可以表示为下式,即等于 右乘某个矩阵

右手项为:

因此, ,或者说

因此,得证上式。

推论:如果 的矩阵,秩为 ,并且可以按上面一样的方式分块,其中 满秩矩阵,此时 的一个广义逆为:

事实上,这里满秩的子矩阵不一定必须为 ,可以是任何子矩阵(缺证明)。

性质

简单

如果 为一个 的秩为 的子矩阵, 的任意一个广义逆,令 的任意一个广义逆,那么存在:

  • ,并且 均为幂等矩阵

    证明:我们已知 ,因此存在

    不等式两头相同,因此得证

    幂等矩阵证明如下

​ 举个例子,对于幂等矩阵 ,单位矩阵 就是其一个广义逆。

  • 或者写成

    只证明第一条,第二条同理。易得 的列空间是 的列空间的子空间,又由二者的秩相同,因此二者的列空间相同,得证。

  • 的广义逆,因此

    证明如下

    因此, 的广义逆 。

  • ,其秩为 ,则

    • 当且仅当
    • 当且仅当

    证明:先看第一条,如果 ,则 ;反过来,如果 ,则 ,此时 非奇异,而非奇异的幂等矩阵只有单位矩阵,因此 。第二条同理。

复杂

定理1

定理:设 ,则矩阵 的选择无关,当且仅当

证明:首先证明充分性,上面的条件等价于存在矩阵 ,使得 ,于是

因此,矩阵 的选择无关。

再证明必要性,我们已知任意一个广义逆 可以表示为下式,其中 为任一特定的广义逆。

于是

若矩阵 的选择无关,则关于 必须要消掉,即

,其中 为任意矩阵 (有一个问题,这里 应该不能取到 的所有矩阵; 这不是问题,这里是说, 可以取为 ),则

由于 为任意矩阵,则

或者

如果 ,则根据 可以立刻推出 ,由于 的任意性,我们就有 ,这与原假设矛盾,因此我们得到 成立,这就说明

同理,若取 ,我们可以证明 $ R(\mathbf{B}^{‘}) \subset R(\mathbf{A}^{’})$

定理2

定理 当且仅当

证明:必要性是显然的,我们证明充分性,假设 ,则存在一个 ,使得 ,因此

证毕。

定理3

  • 的选择无关,且为 Hermite 矩阵,其秩与 相同。

    证明:因为 ,故存在矩阵 ,使得 ,因而

    因此得证 的选择无关,且为 Hermite 矩阵

    下面我们证明其秩与 相同,我们有

    因此 ,从而

  • ,

    上一条,我们证明了 ,因此

    得证。第二个同理

  • 的一个广义逆,也就是说

    这个和上面是一样的,

  • 为任一满足条件 $r\left( \mathbf{A^{*}VA} \right) = r\left( \mathbf{A} \right) $ 的 Hermite 矩阵,则

    证明:由于 为 Hermite 矩阵,易得 也是 Hermite 矩阵。

    对于任意向量 , 则(为什么?我实在想不通。如果 是正定矩阵,那么可以证明成立,左乘 得到 $ \mathbf{ (Ax)^{*}V(Ax) = 0 }$ ,由于 正定,则必有 。)

    进行转换,得到

    因此可得

    得证。

一个对称矩阵的广义逆不一定是对称的,但是你一定可以找到一个对称的广义逆,我们通常假定对称矩阵的广义逆也是对称的。

线性方程组的解

定理如果 线性方程组 是相容的,并且 的一个广义逆,那么 是一个解

证明:根据广义逆,我们有:

两边都用 替换,得到:

因此 的一个解。

注意,这里必须要已知方程组相容,才可以这样求解,这里举个不相容的例子

定理如果 线性方程组 是相容的,那么所有可能的解可以通过两种方式得到:

  1. 使用某个特定的 ,设 ,这里 为所有可能的值组成的随机的向量。
  2. 对于所有可能的 , 设 如果

定理当且仅当对于任何一个广义逆 ,下式均成立时, 线性方程组 相容

首先,如果线性方程组相容,那么 是一个解,这个就是上面的定理。反过来,如果 对于任何一个 广义逆 均成立,那么很显然方程组有解,即相容。

因此,我们看一个方程组是否相容,只要找一个广义逆 ,查看是否存在 即可。

参考文献

  1. Rencher A C, Schaalje G B. Linear models in statistics[M]. John Wiley & Sons, 2008.
  2. 王松桂, 杨振海. 广义逆矩阵及其应用[M]. 北京工业大学出版社, 1996.
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