行列式与平行四边形面积

Gilbert Strang 提到行列式 (的绝对值) 在几何上可以理解为由矩阵的行向量构成的“箱子”的体积,下面证明一下二维空间的平行四边形的面积等于行列式大小。

行列式

假设有一个 的矩阵 如下

其行向量构建成的平行四边形为

1

其面积就是矩阵 的行列式的绝对值,即

下面我们证明这一点。

证明

我们知道平行四边形的面积等于底乘高,画图如下,设两条边为 ,夹角为 ,则可设底为 ,高为

1

此时,我们得到平行四边形的面积为

内积与角度及正交中,我们证明了两个向量的内积为 ,因此我们有

带入具体数值得到

因此得证

注意用行列式计算平行四边形的面积,必须有一个点是原点,如果平行四边形不满足这个条件,需要先平移再计算。

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