行列式与平行四边形面积

2022-05-13

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Gilbert Strang 提到行列式 (的绝对值) 在几何上可以理解为由矩阵的行向量构成的“箱子”的体积，下面证明一下二维空间的平行四边形的面积等于行列式大小。

行列式

假设有一个 $2 \times 2$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 如下 \[ \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \] 其行向量构建成的平行四边形为

其面积就是矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式的绝对值，即 \[ S = |\det(\mathbf{A})| = |ad - bc| \] 下面我们证明这一点。

证明

我们知道平行四边形的面积等于底乘高，画图如下，设两条边为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，夹角为 $\theta$ ，则可设底为 $\|x_{1}\|$ ，高为 $\|x_{2}\| \sin(\theta)$

此时，我们得到平行四边形的面积为 $S=\|x_{1}\| \|x_{2}\| \sin(\theta)$ 。

在内积与角度及正交中，我们证明了两个向量的内积为 $x^{\top} y=\|x\|_{2}\|y\|_{2} \cos \theta$ ，因此我们有 $$ \[\begin{aligned} S^{2} + (x^{'}_{1}x_{2})^{2} &= \|x_{1}\|^{2} \|x_{2}\|^{2} \\ S^{2} &= \|x_{1}\|^{2} \|x_{2}\|^{2} - (x^{'}_{1}x_{2})^{2} \\ \end{aligned}\] \[ 带入具体数值得到 \] \[\begin{aligned} S^{2} &=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)-(a c+b d)^{2} \\ &=a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} d^{2}-a^{2} c^{2}-2 a b c d-b^{2} d^{2} \\ &=b^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} -2 a b c d \\ &=(a d-b c)^{2} \end{aligned}\]

$$ 因此得证 $S = |ad - bc|$ 。

注意用行列式计算平行四边形的面积，必须有一个点是原点，如果平行四边形不满足这个条件，需要先平移再计算。

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