内积与角度及正交

第一次看到余弦定理的证明过程,记录一下。

内积定义

本文中,一般字母表示向量,希腊字母表示标量。

内积是一个实数函数,其将两个向量映射为一个标量,记为 ,内积满足下面的定理:对于同一向量空间的任意三个向量 ,及任意一个标量 ,存在

标准向量内积 (standard inner product) 定义如下:

标准向量内积和欧几里得范数存在以下关系:

余弦定理

下面我们采用勾股定理来证明余弦定理,假设向量 的夹角为 ,设 ,如下图,我们做一条中垂线。

1

根据勾股定理,我们有

同时,我们有

比较二式,我们得到

或者写成

因此我们有 Cauchy–Schwartz 不等式,即:

两个向量正交

如果两个向量之间的角度为直角,此时我们称两个向量正交。

根据上面的公式 ,我们知道两个向量正交,等价于其内积为零,即

两个子空间正交

的两个子空间,如果对每一 均有 ,则称 是正交的,记作

举个例子,矩阵 的行空间与其零空间正交。证明如下,根据零空间定义,我们有 ,根据矩阵乘法,我们得到 矩阵 的每一行与 的内积均为 0,即矩阵 的每一行均与 正交。由于矩阵 的行空间是矩阵 的所有行的线性组合,因此易得矩阵 的行空间与其零空间正交。

性质:对于两个正交的子空间 ,其交集为

证明:对于 的交集的元素,设 ,则必须满足其自身与自身正交,即 ,因此

正交补

的子空间, 中所有与 中每一向量正交的向量集合称为 的正交补,记为 ,即

而且 也是一个子空间,根据加法和标量乘法原则证明如下:

, 且 为一个标量, 则对任意 ,

因此

的元素, 则对每一个 , 有

因此

于是得证 也是 的子空间。

我们可以进一步证明,矩阵 的行空间与其零空间互为正交补。

参考文献

  1. Calafiore G C, El Ghaoui L. Optimization models[M]. Cambridge university press, 2014.
  2. Leon S J, Bica I, Hohn T. Linear algebra with applications[M]. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2006.
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