证明 det(AB) = det(A)det(B) ，顺便证明 det(A’) = det(A) 。

证明 det(AB) = det(A)det(B)

先验知识

这里我们需要用到行列式的三个基本性质及其引理：

1. 单位矩阵的行列式为 1

2. 任意交换两行，矩阵的行列式改变符号

3. 保持其他列不变，矩阵某一行乘以一个标量，矩阵的行列式也乘以这个标量；矩阵某一行如果可以表示为两个向量的加法，那么这个矩阵的行列式也可以根据这一行拆分成两个行列式的和。

4. 矩阵的某一行乘以常数加到另一行上，矩阵的行列式不变

5. 三角矩阵的行列式等于其所有对角线元素乘积

第二，根据高斯消元法，任意一个 矩阵都可以分解为 ，其中 是一个对角线元素均为 1 的下三角矩阵，而 是一个上三角矩阵。如果 是一个可逆矩阵，那么 的所有对角线元素均不为零；如果 不满秩，那么 矩阵中含有等于0的主元。根据性质 4 ，我们知道消元不会影响行列式的大小（假设没有换行），因此 。

证明过程

我们首先对 进行消元，我们得到 ，首先我们证明 和 ，其实这就是 的两个特例。

根据矩阵乘法的性质， 的每一行均是 的所有行的线性组合，比如 的第一行就是 ；第二行就是 ，以此类推。因此，第二行至第 行均添加了其他行的倍数，根据性质 4 我们知道这不会影响行列式的大小，因此我们有

同理 的每一行均是 的所有行的线性组合，我们有

因此我们得到：

因此我们得证 。

证明 det(A’) = det(A)

根据 ，我们可以轻松证明这一点。

我们首先还是对 进行消元，我们得到 ，因此 ，根据 ，我们有

而 和 均是对角线元素乘积，因此二者相等，同理 $\det(\mathbf{L}) = \det(\mathbf{L’}) $ ，故得证 。

这说明在行列式计算中，行和列的地位是一样的，例如任意交换两列，矩阵的行列式同样也要改变符号。因为我们可以先对矩阵进行转置 (不改变行列式) ，然后交换两行（符号改变），再转置回来（不改变行列式），此时我们的实际效果是交换了两列，而行列式符号发生了改变。

参考文献

1. MIT 18.06 线性代数课程