证明det(AB)=det(A)det(B)

证明 det(AB) = det(A)det(B) ,顺便证明 det(A’) = det(A) 。

证明 det(AB) = det(A)det(B)

先验知识

这里我们需要用到行列式的三个基本性质及其引理:

  1. 单位矩阵的行列式为 1

  2. 任意交换两行,矩阵的行列式改变符号

  3. 保持其他列不变,矩阵某一行乘以一个标量,矩阵的行列式也乘以这个标量;矩阵某一行如果可以表示为两个向量的加法,那么这个矩阵的行列式也可以根据这一行拆分成两个行列式的和。

  4. 矩阵的某一行乘以常数加到另一行上,矩阵的行列式不变

  5. 三角矩阵的行列式等于其所有对角线元素乘积

第二,根据高斯消元法,任意一个 矩阵都可以分解为 ,其中 是一个对角线元素均为 1 的下三角矩阵,而 是一个上三角矩阵。如果 是一个可逆矩阵,那么 的所有对角线元素均不为零;如果 不满秩,那么 矩阵中含有全零行。根据性质 4 ,我们知道消元不会影响行列式的大小(假设没有换行),因此

证明过程

我们首先对 进行消元,我们得到 ,首先我们证明 ,其实这就是 的两个特例。

根据矩阵乘法的性质, 的每一行均是 的所有行的线性组合,比如 的第一行就是 ;第二行就是 ,以此类推。因此,第二行至第 行均添加了其他行的倍数,根据性质 4 我们知道这不会影响行列式的大小,因此我们有

同理 的每一行均是 的所有行的线性组合,我们有

因此我们得到:

因此我们得证

证明 det(A’) = det(A)

根据 ,我们可以轻松证明这一点。

我们首先还是对 进行消元,我们得到 ,因此 ,根据 ,我们有

均是对角线元素乘积,因此二者相等,同理 $\det(\mathbf{L}) = \det(\mathbf{L’}) $ ,故得证

这说明在行列式计算中,行和列的地位是一样的,例如任意交换两列,矩阵的行列式同样也要改变符号。因为我们可以先对矩阵进行转置 (不改变行列式) ,然后交换两行(符号改变),再转置回来(不改变行列式),此时我们的实际效果是交换了两列,而行列式符号发生了改变。

参考文献

  1. MIT 18.06 线性代数课程
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