证明 det(AB) = det(A)det(B) ，顺便证明 det(A’) = det(A) 。

证明 det(AB) = det(A)det(B)

先验知识

这里我们需要用到行列式的三个基本性质及其引理：

1. 单位矩阵的行列式为 1

2. 任意交换两行，矩阵的行列式改变符号

3. 保持其他列不变，矩阵某一行乘以一个标量，矩阵的行列式也乘以这个标量；矩阵某一行如果可以表示为两个向量的加法，那么这个矩阵的行列式也可以根据这一行拆分成两个行列式的和。

4. 矩阵的某一行乘以常数加到另一行上，矩阵的行列式不变

5. 三角矩阵的行列式等于其所有对角线元素乘积

第二，根据高斯消元法，任意一个 \(n \times n\) 矩阵都可以分解为 \(\mathbf{A} = \mathbf{LU}\) ，其中 \(\mathbf{L}\) 是一个对角线元素均为 1 的下三角矩阵，而 \(\mathbf{U}\) 是一个上三角矩阵。如果 \(\mathbf{A}\) 是一个可逆矩阵，那么 \(\mathbf{U}\) 的所有对角线元素均不为零；如果 \(\mathbf{A}\) 不满秩，那么 \(\mathbf{U}\) 矩阵中含有等于0的主元。根据性质 4 ，我们知道消元不会影响行列式的大小（假设没有换行），因此 \(\det(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{U})\) 。

证明过程

我们首先对 \(\mathbf{A}\) 进行消元，我们得到 \(\mathbf{A} = \mathbf{LU}\) ，首先我们证明 \(\det(\mathbf{LB}) = \det(\mathbf{B})\) 和 \(\det(\mathbf{UB}) = \det(\mathbf{U}) \det(\mathbf{B})\) ，其实这就是 \(\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})\) 的两个特例。

根据矩阵乘法的性质，\(\mathbf{LB}\) 的每一行均是 \(\mathbf{B}\) 的所有行的线性组合，比如 \(\mathbf{LB}\) 的第一行就是 \(l_{11} \mathbf{b}_{1}^{'}\) ；第二行就是 \(l_{21} \mathbf{b}_{1}^{'} + l_{22} \mathbf{b}_{2}^{'}\)，以此类推。因此，第二行至第 \(n\) 行均添加了其他行的倍数，根据性质 4 我们知道这不会影响行列式的大小，因此我们有 $$ \[\begin{aligned} \det(\mathbf{LB}) &= \left| \begin{array}{c} l_{11} \mathbf{b}_{1}^{'} \\ l_{21} \mathbf{b}_{1}^{'} + l_{22} \mathbf{b}_{2}^{'} \\ \cdots \\ l_{n1} \mathbf{b}_{1}^{'} + \cdots + l_{nn} \mathbf{b}_{n}^{'} \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{c} l_{11} \mathbf{b}_{1}^{'} \\ l_{22} \mathbf{b}_{2}^{'} \\ \cdots \\ l_{nn} \mathbf{b}_{n}^{'} \\ \end{array} \right| \\ &= l_{11} l_{22} \cdots l_{nn} \left| \begin{array}{c} \mathbf{b}_{1}^{'} \\ \mathbf{b}_{2}^{'} \\ \cdots \\ \mathbf{b}_{n}^{'} \\ \end{array} \right| \\ &= \det(\mathbf{B}) \end{aligned}\]

$$

同理 \(\mathbf{UB}\) 的每一行均是 \(\mathbf{B}\) 的所有行的线性组合，我们有 $$ \[\begin{aligned} \det(\mathbf{UB}) &= \left| \begin{array}{c} u_{11} \mathbf{b}_{1}^{'} + u_{12} \mathbf{b}_{2}^{'} + \cdots + u_{1n} \mathbf{b}_{n}^{'} \\ \cdots \\ u_{nn} \mathbf{b}_{n}^{'}\\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{c} u_{11} \mathbf{b}_{1}^{'} \\ u_{22} \mathbf{b}_{2}^{'} \\ \cdots \\ u_{nn} \mathbf{b}_{n}^{'} \\ \end{array} \right| \\ &= u_{11} u_{22} \cdots u_{nn} \left| \begin{array}{c} \mathbf{b}_{1}^{'} \\ \mathbf{b}_{2}^{'} \\ \cdots \\ \mathbf{b}_{n}^{'} \\ \end{array} \right| \\ &= \det(\mathbf{U}) \det(\mathbf{B}) \quad \because \text{性质 5} \end{aligned}\] \[ 因此我们得到： \] \[\begin{aligned} \det(\mathbf{AB}) &= \det(\mathbf{LUB}) \\ & = \det(\mathbf{UB}) \\ & = \det(\mathbf{U}) \det(\mathbf{B}) \\ & = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B}) \\ \end{aligned}\]

$$ 因此我们得证 \(\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})\) 。

证明 det(A’) = det(A)

根据 \(\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})\) ，我们可以轻松证明这一点。

我们首先还是对 \(\mathbf{A}\) 进行消元，我们得到 \(\mathbf{A} = \mathbf{LU}\) ，因此 \(\mathbf{A'} = \mathbf{U'L'}\) ，根据 \(\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})\) ，我们有 \[ \begin{aligned} \det(\mathbf{A}) &= \det(\mathbf{L}) \det(\mathbf{U}) \\ \det(\mathbf{A'}) &= \det(\mathbf{U'}) \det(\mathbf{L'}) \\ \end{aligned} \] 而 \(\det(\mathbf{U})\) 和 \(\det(\mathbf{U'})\) 均是对角线元素乘积，因此二者相等，同理 $() = () $ ，故得证 \(\det(\mathbf{A'}) = \det(\mathbf{A})\) 。

这说明在行列式计算中，行和列的地位是一样的，例如任意交换两列，矩阵的行列式同样也要改变符号。因为我们可以先对矩阵进行转置 (不改变行列式) ，然后交换两行（符号改变），再转置回来（不改变行列式），此时我们的实际效果是交换了两列，而行列式符号发生了改变。

参考文献

1. MIT 18.06 线性代数课程