上一篇证明AB的秩小于等于A的秩，本篇证明矩阵 A 的行秩等于列秩，及 rank(AA’) = rank(A’A) = rank(A)。

证明行秩等于列秩

在维基百科的页面 Rank (linear algebra) 提到了三种证明方法，下面进行介绍。

我们需要证明矩阵 的线性独立的行数等于其线性独立的列数，即行秩等于列秩。换句话说， 。

第一种证明：行最简形式

首先初等行变换不会改变行秩和列秩（不改变行秩很容易理解，但是不改变列秩我不理解），因此矩阵 的行最简阶梯形式不会改变其行秩和列秩。而易得矩阵 的行最简阶梯形的行秩和列秩均等于主元数目，因此得证行秩等于列秩。

第二种证明：线性组合

设矩阵 是一个 的矩阵，假设其列秩为 , 设其列空间的一组基为 ，使用这些列组成矩阵 。因此矩阵 的每一列均可以表达为矩阵 的列的线性组合，即存在一个 的矩阵 ，使得 。从另一个角度说，矩阵 的每一行均是矩阵 的所有行的线性组合，即矩阵 的所有行张成了矩阵 的行空间，因此矩阵 的行秩小于等于矩阵 的行数，即矩阵 的行秩小于等于列秩。这个结论对所有矩阵均成立，因此对于其转置矩阵 ，同样使用这个结论，我们得到矩阵 的列秩小于等于行秩，因此我们得证矩阵 的行秩等于列秩。

第三种证明：使用正交性

设矩阵 是一个 的矩阵，假设其行秩为 , 因此矩阵 行空间的维度为 ，设其行空间的一组基为 。我们可以证明 这些向量是线性无关的，证明如下

其中 。

我们发现 处于矩阵 的行空间之中，其次 说明矩阵矩阵 的每一行均与 正交，因此 和所有行空间中的向量正交，因此 也和它自身正交，即 ，因此 ，或者写成：

由于 是一组基，因此它们是线性无关的，因此 ，我们得证 这些向量是线性无关的。

同时， 这些向量均在矩阵 的列空间中，因此矩阵 的列秩必须大于等于行秩 。我们同样将这个结论带入其转置矩阵 ，我们得到矩阵 的行秩必须大于等于列秩，因此我们得证矩阵 的行秩等于列秩。

证明 rank(AA’) = rank(A’A) = rank(A)

这个可以通过零空间来证明。我们先证明 ，设矩阵 是一个 的矩阵，那么 $ \mathbf{A’A}$ 是一个 的矩阵，其零空间的向量满足下式

我们对这个式子两边左乘一个 ，得到

因此此时我们有 ，说明 是 的充分条件。反过来，如果 ，那么易得 。因此二者互为充分必要条件，这说明矩阵 和 的零空间完全一样。根据零空间的知识，我们知道零空间的维度等于矩阵的列数减去秩，即 ，因此我们得证矩阵 和 的秩相同。

同样地，对于矩阵 $ \mathbf{AA’}$ ，其零空间的向量满足 ，同理可得矩阵 $ \mathbf{AA’}$ 与 的秩相同，由于上面我们证明了 ，因此我们得证 。

参考文献

1. Rank (linear algebra)