证明 row rank = column rank 及 rank(AA') = rank(A'A) = rank(A)

上一篇证明AB的秩小于等于A的秩,本篇证明矩阵 A 的行秩等于列秩,及 rank(AA’) = rank(A’A) = rank(A)。

证明行秩等于列秩

在维基百科的页面 Rank (linear algebra) 提到了三种证明方法,下面进行介绍。

我们需要证明矩阵 的线性独立的行数等于其线性独立的列数,即行秩等于列秩。换句话说,

第一种证明:行最简形式

首先初等行变换不会改变行秩和列秩(不改变行秩很容易理解,但是不改变列秩我不理解),因此矩阵 的行最简阶梯形式不会改变其行秩和列秩。而易得矩阵 的行最简阶梯形的行秩和列秩均等于主元数目,因此得证行秩等于列秩。

第二种证明:线性组合

设矩阵 是一个 的矩阵,假设其列秩为 , 设其列空间的一组基为 ,使用这些列组成矩阵 。因此矩阵 的每一列均可以表达为矩阵 的列的线性组合,即存在一个 的矩阵 ,使得 。从另一个角度说,矩阵 的每一行均是矩阵 的所有行的线性组合,即矩阵 的所有行张成了矩阵 的行空间,因此矩阵 的行秩小于等于矩阵 的行数,即矩阵 的行秩小于等于列秩。这个结论对所有矩阵均成立,因此对于其转置矩阵 ,同样使用这个结论,我们得到矩阵 的列秩小于等于行秩,因此我们得证矩阵 的行秩等于列秩。

第三种证明:使用正交性

设矩阵 是一个 的矩阵,假设其行秩为 , 因此矩阵 行空间的维度为 ,设其行空间的一组基为 。我们可以证明 这些向量是线性无关的,证明如下

其中

我们发现 处于矩阵 的行空间之中,其次 说明矩阵矩阵 的每一行均与 正交,因此 和所有行空间中的向量正交,因此 也和它自身正交,即 ,因此 ,或者写成:

由于 是一组基,因此它们是线性无关的,因此 ,我们得证 这些向量是线性无关的。

同时, 这些向量均在矩阵 的列空间中,因此矩阵 的列秩必须大于等于行秩 。我们同样将这个结论带入其转置矩阵 ,我们得到矩阵 的行秩必须大于等于列秩,因此我们得证矩阵 的行秩等于列秩。

证明 rank(AA’) = rank(A’A) = rank(A)

这个可以通过零空间来证明。我们先证明 ,设矩阵 是一个 的矩阵,那么 $ \mathbf{A’A}$ 是一个 的矩阵,其零空间的向量满足下式

我们对这个式子两边左乘一个 ,得到

因此此时我们有 ,说明 的充分条件。反过来,如果 ,那么易得 。因此二者互为充分必要条件,这说明矩阵 的零空间完全一样。根据零空间的知识,我们知道零空间的维度等于矩阵的列数减去秩,即 ,因此我们得证矩阵 的秩相同。

同样地,对于矩阵 $ \mathbf{AA’}$ ,其零空间的向量满足 ,同理可得矩阵 $ \mathbf{AA’}$ 与 的秩相同,由于上面我们证明了 ,因此我们得证

参考文献

  1. Rank (linear algebra)
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