矩阵秩的性质的证明比较少，看到了一个很好的回答，简单地记录一下。

本文内容基本来自于 Rank of the Product of Matrices ABAB is Less than or Equal to the Rank of A ，感兴趣的可以自己去看一下。

问题

如果 是一个 的矩阵， 是一个 的矩阵，证明下面两个性质：

(a) ，

(b) 如果 非奇异，

解决这个问题前，首先我们要先看看矩阵列空间的定义和性质。

矩阵的列空间

下面这段话来自于吴恩达老师 CS229 课程的讲义。

一个向量集合的张成空间 (span) 定义为这些向量的线性组合，即为：

如果 是 个线性无关的向量，那么其张成空间就是 。

一个向量 在 的张成空间的投影 (projection) ，定义为在张成空间中与 距离最近的一个点 (向量)，写作：

一个矩阵 的列空间 (range, column space) 是它的列张成的空间，即为 （好像也有人写作 或 ），即：

为什么可以写成 呢，我们可以将 写成列向量的形式，得到下式，因此 就是 的列的张成空间。

列空间的维度

矩阵 的列空间的维度等于矩阵 的秩，即存在

这个很好证明，假设矩阵 有 个线性无关的列，即 ，那么矩阵 的所有列张成的空间就是其 个线性无关的列张成的空间（因为其他列都是这 列的线性组合），而 个线性无关的列的张成空间的维度就是 ，即 ，因此得证矩阵 的列空间的维度等于矩阵 的秩。

证明 AB 的秩小于等于 A

根据列空间的性质，我们有：

我们知道，如果一个向量空间 是向量空间 的子空间，那么必然存在：

因此，我们只需要证明 是 的子空间即可。

现在假定对于任意一个向量 ，因此存在一个相应的 ，使得 ，以符合列空间的定义。

此时，我们设 ，因此我们有

因此， 中的任何一个向量 均同样在 中，也就是说， 是 的一个子空间，因此，我们有

得证。

证明 AB 的秩小于等于 B

首先，我们知道矩阵的转置与原矩阵的秩相同（矩阵线性无关的列数=线性无关的行数）。因此我们有

这里第二行采用了上面的结论，AB 的秩小于等于 A。

因此，我们得证 ，联合这两个性质，则有

证明如果 B​ 非奇异, AB 的秩等于 A

我们已知 ，因此存在：

再采用这个性质，因此我们有：

如果一系列不等式的两头相等，那么中间的所有不等式就一定为等式，因此此时，我们有：

闲话

从这个帖子的网站主页来看，这个网站貌似就是解决数学问题的，或者证明数学公式的，有时间可以看看，网址见下方。

https://yutsumura.com/