广义逆及其性质

2022-05-24

理论学习 / 线性代数

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本章节介绍最普通的广义逆，{1}-广义逆的构造和性质。

{1}-逆的定义

一个相容的线性方程组的解可以表示为的广义逆的式子。

对于一个的矩阵，定义其广义逆满足：

一个矩阵广义逆一般不唯一，除非矩阵为非奇异矩阵，此时。

无论是方阵，还是非方阵也有广义逆，甚至向量均有广义逆，比如如果

它的一个广义逆为。

定理：如果为的矩阵，那么其广义逆为 $ p \times n$ 的矩阵。

{1}-逆的构造

一般构造

第一种形式

定理：设 , 其秩为，其相抵标准形为

其中和分别为和的可逆矩阵，则

其中、和为任意矩阵。

证明：设为任意一个，则有

因为和均为可逆矩阵，因此同时左乘和右乘得到

若设

代入上式，得到

因此，我们得到。这就证明了，当且仅当下式成立时，为一个广义逆

得证。

则所有的的集合为

第二种形式

定理：设 , 为其特定的一个广义逆，则

证明：将上面两个式子的集合分别记为和，易证，这两个集合中的每个矩阵都满足。反过来，对于的任意一个解，取，便可以推出 $ \mathbf{X} \in S_{1}$ 。若取

可以推出 $ \mathbf{X} \in S_{2}$ ，证毕。

分块矩阵的广义逆

定理：如果为的矩阵，秩为，并且可以分块为：

其中是一个的满秩矩阵。那么此时的一个广义逆为：

证明：通过分块矩阵乘积，我们得到:

这里我们需要证明，我们设

因此，我们得到

由于为非奇异矩阵，因此。在中，其子矩阵的列秩为，因此后面的列都是前面的列的线性组合，我们可以表示为下式，即等于右乘某个矩阵。

右手项为：

因此，，或者说

因此，得证上式。

推论：如果为的矩阵，秩为，并且可以按上面一样的方式分块，其中为的满秩矩阵，此时的一个广义逆为：

事实上，这里满秩的子矩阵不一定必须为或，可以是任何子矩阵（缺证明）。

性质

简单

如果为一个的秩为的子矩阵，为的任意一个广义逆，令为的任意一个广义逆，那么存在：

，并且和均为幂等矩阵

证明：我们已知，因此存在

不等式两头相同，因此得证

幂等矩阵证明如下

举个例子，对于幂等矩阵，单位矩阵就是其一个广义逆。

或者写成

只证明第一条，第二条同理。易得的列空间是的列空间的子空间，又由二者的秩相同，因此二者的列空间相同，得证。
是的广义逆，因此。

证明如下

因此，是的广义逆。
设，其秩为，则
- 当且仅当
- 当且仅当
证明：先看第一条，如果，则；反过来，如果，则，此时非奇异，而非奇异的幂等矩阵只有单位矩阵，因此。第二条同理。

复杂

定理1

定理：设，，则矩阵与的选择无关，当且仅当

证明：首先证明充分性，上面的条件等价于存在矩阵和，使得，，于是

因此，矩阵与的选择无关。

再证明必要性，我们已知任意一个广义逆可以表示为下式，其中为任一特定的广义逆。

于是

若矩阵与的选择无关，则关于必须要消掉，即

取，其中为任意矩阵（有一个问题，这里应该不能取到的所有矩阵; 这不是问题，这里是说，可以取为），则

由于为任意矩阵，则

或者

如果，则根据可以立刻推出，由于的任意性，我们就有或，这与原假设矛盾，因此我们得到成立，这就说明。

同理，若取，我们可以证明 $ R(\mathbf{B}^{‘}) \subset R(\mathbf{A}^{’})$

定理2

定理：当且仅当

证明：必要性是显然的，我们证明充分性，假设，则存在一个，使得，因此

证毕。

定理3

与的选择无关，且为 Hermite 矩阵，其秩与相同。

证明：因为，故存在矩阵，使得，因而

因此得证与的选择无关，且为 Hermite 矩阵

下面我们证明其秩与相同，我们有

因此，从而
,

上一条，我们证明了，因此

得证。第二个同理
是的一个广义逆，也就是说。

这个和上面是一样的，
设为任一满足条件 $r\left( \mathbf{A^{*}VA} \right) = r\left( \mathbf{A} \right) $ 的 Hermite 矩阵，则

证明：由于为 Hermite 矩阵，易得也是 Hermite 矩阵。

对于任意向量 , 则（为什么？我实在想不通。如果是正定矩阵，那么可以证明成立，左乘得到 $ \mathbf{ (Ax)^{*}V(Ax) = 0 }$ ，由于正定，则必有。）

对进行转换，得到

因此可得

得证。