在不考虑互作的前提下，一个固定因子的不同水平效应之差是可估计的吗？

可估计函数

如果存在一个观测值 的线性组合的期望等于 $ \boldsymbol{\lambda^{\prime} \boldsymbol{\beta}}$ ，我们就称这个参数的线性组合 $ \boldsymbol{\lambda^{\prime} \boldsymbol{\beta}}$ 是可估计的 (estimable) ，也就是说，存在一个向量 ，使得下式成立

在模型 中，其中 ， 是一个 的秩为 $k < p \leq n $ 的矩阵。那么当且仅当 是 的行的线性组合时，线性函数 可估计。也就是说存在一个向量 使得下式成立

证明： 如果存在一个向量 使得 ，那么我们有

因此 $ \boldsymbol{\lambda^{\prime} \boldsymbol{\beta}}$ 可估计。

反过来，如果 可估计，那么存在一个向量 使得 ，因此 对于所有可能的 均成立，因此 $\mathbf{a}^{\prime} \mathbf{X}=\boldsymbol{\lambda}^{\prime} $ ，得证。

因此，我们可以轻松得到以下性质。

性质

1. 任何一个观测值的期望值都是可估计的，即 是可估计的。

   证明：此时 ，即等于 矩阵的某一行 ，因此当然是 矩阵行的线性组合， 可估计，得证。

2. 可估计函数的任意线性组合也是可估计函数

   证明：假设有两个可估计函数 ， ，这两个可估计函数的线性组合为：

   

   得证。

3. 如果 可估计，则对于方程组 的任意解 ， 是唯一的。

   证明：我们有

   

   因为对于任意的 ， 均是唯一的（证明见 广义逆及其性质）因此证明 是唯一的。

4. 如果 可估计，则 是 BLUE 估计值（最佳线性无偏估计值）。

   证明略

一个因子不同水平效应之差

如果一个固定因子与其他因子之间没有互作，那么它的不同水平效应之差是可估计的吗？

根据上面的内容，我们已知判断是否估计，关键要看 是不是 的行的线性组合。我们先看一个反例，假设总共只有两个固定因子 和 ，每个固定因子有两个水平。假设我们有8条数据，有4条数据包含效应 和 ，另外四条数据包含效应 和 ，构建模型时不考虑均值列，用矩阵形式表示为

或者

其中 是一个 的矩阵，秩为2 。此时我们无法得到唯一的估计值 ，因为 不存在。

由于可估计函数 中的 必须是 的行的线性组合，易得 的行空间的两个基向量为

和

这两个向量的线性组合为

那么所有可估计函数的形式就是

根据这个形式，我们不可能得到 或者 ，此时任何一个因子不同水平效应之差都是不可估计的。你只能得到 是可估计的。

因此根据这个反例，我们知道，一个因子不同水平效应之差是不可估计的，或者说不是在所有情况下都可以估计。

那么什么情况下，一个因子不同水平效应之差是可以估计的呢？我们还是要看其能不能表示为 的行的线性组合 ，一个最简单的情况就是能不能找 的两行的差值乘以 正好等于这两个水平的效应之差。也就是说需要存在两个观测值在其它固定因子的所属水平均相同，只在这个固定因子的所属水平不同，比如按照上面的例子，如果存在两个观测值 , ，那么这两个式子之差得到 ，因此 可估计。

因此，如果所有水平组合均至少存在一个观测值，那么此时所有因子不同水平效应之差都是可估计的。还是以上面的二变量固定模型为例，其数据分布如下，可以看出其数据过于不均衡。如果四个水平组合都有观测值，那么 或者 均可以估计。其实只需要三个水平组合都有观测值，那么 或者 也是可以估计的。

	4	0
	0	4

在实际数据中，一般 ，而且数据一般也不会像上面的例子一样这么不均衡，因此一般来说一个因子不同水平效应之差还是可估计的。

参考文献

1. Rencher A C, Schaalje G B. Linear models in statistics[M]. John Wiley & Sons, 2008.
2. 张沅，张勤，《畜禽育种中的线性模型》