第一次看到余弦定理的证明过程，记录一下。

内积定义

本文中，一般字母表示向量，希腊字母表示标量。

内积是一个实数函数，其将两个向量映射为一个标量，记为 ，内积满足下面的定理：对于同一向量空间的任意三个向量 ，及任意一个标量 ，存在

标准向量内积 (standard inner product) 定义如下：

标准向量内积和欧几里得范数存在以下关系：

余弦定理

下面我们采用勾股定理来证明余弦定理，假设向量 和 的夹角为 ，设 ，如下图，我们做一条中垂线。

根据勾股定理，我们有

同时，我们有

比较二式，我们得到

或者写成

因此我们有 Cauchy–Schwartz 不等式，即：

两个向量正交

如果两个向量之间的角度为直角，此时我们称两个向量正交。

根据上面的公式 ，我们知道两个向量正交，等价于其内积为零，即 。

两个子空间正交

设 和 是 的两个子空间，如果对每一 和 均有 ，则称 和 是正交的，记作 。

举个例子，矩阵 的行空间与其零空间正交。证明如下，根据零空间定义，我们有 ，根据矩阵乘法，我们得到 矩阵 的每一行与 的内积均为 0，即矩阵 的每一行均与 正交。由于矩阵 的行空间是矩阵 的所有行的线性组合，因此易得矩阵 的行空间与其零空间正交。

性质：对于两个正交的子空间 和 ，其交集为 。

证明：对于 和 的交集的元素，设 ，则必须满足其自身与自身正交，即 ，因此 。

正交补

令 是 的子空间， 中所有与 中每一向量正交的向量集合称为 的正交补，记为 ，即

而且 也是一个子空间，根据加法和标量乘法原则证明如下：

设 , 且 为一个标量, 则对任意 ,

因此 。

若 和 为 的元素, 则对每一个 , 有

因此 。

于是得证 也是 的子空间。

我们可以进一步证明，矩阵 的行空间与其零空间互为正交补。

参考文献

1. Calafiore G C, El Ghaoui L. Optimization models[M]. Cambridge university press, 2014.
2. Leon S J, Bica I, Hohn T. Linear algebra with applications[M]. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2006.