在看极大似然估计的公式时，一个问题一直盘旋在我的心中，为什么对于连续变量采用概率密度函数呢？

极大似然估计概述

直接把维基百科的话复制过来如下^[1]：

若 是离散分布， 即是在参数为 时观测到这一采样的概率。**若其是连续分布， 则为 联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。**一旦我们获得 , 我们就能求得一个关于 的估计。最大似然估计会寻找关于 的最可能的值 (即, 在所
注意

• 这裡的似然函数是指 不变时， 关于 的一个函数。
• 最大似然估计不一定存在，也不一定唯一。

问题

我同时查看了很多知乎上的回答，基本上所有人提到 为连续变量时，则似然函数采用联合概率密度值。就仅仅是这么一笔带过，没有人给我任何解释为什么这里用概率密度。但是，所有人在解释极大似然的含义时，均称极大似然函数在参数为 时这些样本点出现的概率或可能性。那么我的问题来了，极大似然为什么用概率密度函数表示这些点出现的概率？

学过概率论都知道，第一，概率密度不是概率，概率密度函数的积分才是概率，你怎么指着概率密度说是概率呢？；第二，连续变量在某一点的概率为0，所以你说连续变量出现在某一个点的概率高低根本毫无意义啊。

我知道似然函数定义就是这样，但我觉得如果有人只告诉我定义就是这样，这不能让我信服。

我一开始有一个误解，我为了说通似然函数采用概率密度这件事，我将其理解成 P值的概念，即出现比这个残差相同或更极端情况的概率。比如正态分布，画出图像如下（图片来自网络，侵删）。我们可以看到出现这个残差或更极端情况的概率，与该残差的概率密度函数的值的大小成正比。于是似然函数中直接使用概率密度貌似就可以理解了。但是我慢慢发现，这个理解不对。

新的理解

后面我查看Fisher在1922年发表的论文^[2]，这好像也是第一次提论最大似然的地方。水平有限，看不太懂，但我还是找到了 Fisher 对于最大似然的阐述：

我不是很理解第二个公式是怎么得到的，但从第一个公式我们可以清楚地看到，对于连续变量 ，极大似然需要最大化的是在该点的相邻区域的出现概率。

这里仍然用一元正态分布的图来直观理解一下，需要计算的相邻区域的概率即为下图阴影区域，根据微积分，其计算公式为 ，因此 ，因此， ，所以似然函数可以直接使用（联合）概率密度函数的值。