Gilbert Strang 提到行列式 (的绝对值) 在几何上可以理解为由矩阵的行向量构成的“箱子”的体积，下面证明一下二维空间的平行四边形的面积等于行列式大小。

行列式

假设有一个 的矩阵 如下

其行向量构建成的平行四边形为

其面积就是矩阵 的行列式的绝对值，即

下面我们证明这一点。

证明

我们知道平行四边形的面积等于底乘高，画图如下，设两条边为 和 ，夹角为 ，则可设底为 ，高为

此时，我们得到平行四边形的面积为 。

在内积与角度及正交中，我们证明了两个向量的内积为 ，因此我们有

带入具体数值得到

因此得证 。

注意用行列式计算平行四边形的面积，必须有一个点是原点，如果平行四边形不满足这个条件，需要先平移再计算。